Question

18．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F（1，0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B是拋物線C異于O的兩點(diǎn)．
（1）求拋物線C的方程；
（2）若直線OA，OB的斜率之積為-$\frac{1}{3}$，求證：直線AB過(guò)x軸上一定點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F（1，0），可得拋物線C的方程；
（2）分類討論，設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合斜率公式，可求直線方程，即可得出結(jié)論．

解答 （1）解：因?yàn)閽佄锞�y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），
所以$\frac{p}{2}$=1，所以p=2．
所以拋物線C的方程為y²=4x．
（2）證明：①當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，設(shè)A（$\frac{{t}^{2}}{4}$，t），B（$\frac{{t}^{2}}{4}$，-t），
因?yàn)橹本�OA，OB的斜率之積為-$\frac{1}{3}$，所以$\frac{t}{\frac{{t}^{2}}{4}}•\frac{-t}{\frac{{t}^{2}}{4}}$=-$\frac{1}{3}$，化簡(jiǎn)得t²=48．
所以（12，t），B（12，-t），此時(shí)直線AB的方程為x=12．----------------（7分）
②當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為y=kx+b，A（x_A，y_A），B（x_B，y_B）
聯(lián)立方程，化簡(jiǎn)得ky²-4y+4b=0．------------------（9分）
根據(jù)韋達(dá)定理得到y(tǒng)_Ay_B=$\frac{4b}{k}$，
因?yàn)橹本�OA，OB的斜率之積為-$\frac{1}{3}$，所以得到x_Ax_B+3y_Ay_B=0．--------------------（11分）
得到$\frac{{{y}_{A}}^{2}}{4}•\frac{{{y}_{B}}^{2}}{4}$+2y_Ay_B=0，
化簡(jiǎn)得到y(tǒng)_Ay_B=0（舍）或y_Ay_B=-48．--------------------（12分）
又因?yàn)閥_Ay_B=$\frac{4b}{k}$=-48，b=-12k，
所以y=kx-12k，即y=k（x-12）．
綜上所述，直線AB過(guò)定點(diǎn)（12，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．