【題目】如圖，在直四棱柱中，底面是矩形，與交于點(diǎn)，.

（1）證明：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】(1)見(jiàn)解析.(2) .

【解析】

（1）根據(jù)線面垂直的判定定理，先證明平面，得到，進(jìn)而可證明結(jié)論成立；

（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線的方向向量、平面的一個(gè)法向量，求兩向量夾角的余弦值，即可得出結(jié)果.

（1）證明：因?yàn)樗睦庵?/span>是直四棱柱，所以平面，則 .

又，，

所以平面，所以.

因?yàn)?/span>，，所以是正方形，所以.

又，所以平面.

（2）因?yàn)樗睦庵?/span>是直四棱柱，底面是矩形，所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則,，

, ,

設(shè)平面的法向量為

由，，可得，

令，則，

設(shè)直線與平面所成的角為，

則.

所以直線與平面所成角的正弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】（本題滿分12分）如圖， 是圓的直徑，點(diǎn)是圓上異于的點(diǎn)， 垂直于圓所在的平面，且．

（Ⅰ）若為線段的中點(diǎn)，求證平面；

（Ⅱ）求三棱錐體積的最大值；

（Ⅲ）若，點(diǎn)在線段上，求的最小值．

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【題目】已知圓，圓N與圓M關(guān)于直線對(duì)稱.

（1）求圓N的方程.

（2）是否存在過(guò)點(diǎn)P的無(wú)窮多對(duì)互相垂直的直線和，使得被圓M截得的弦長(zhǎng)與被圓N截得的弦長(zhǎng)相等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)正數(shù)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)于任意，是和的等差中項(xiàng).

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)，是的前項(xiàng)和，是否存在常數(shù)，對(duì)任意，使恒成立？若存在，求取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，，．

(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；

(Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅲ)設(shè)，若對(duì)于任意，總存在，使得成立，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在第十五次全國(guó)國(guó)民閱讀調(diào)查中，某地區(qū)調(diào)查組獲得一個(gè)容量為的樣本，其中城鎮(zhèn)居民人，農(nóng)村居民人.在這些居民中，經(jīng)常閱讀的城鎮(zhèn)居民人，農(nóng)村居民人.

（Ⅰ）填寫(xiě)下面列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為，經(jīng)常閱讀與居民居住地有關(guān)？

城鎮(zhèn)居民

農(nóng)村居民

合計(jì)

經(jīng)常閱讀

不經(jīng)常閱讀

合計(jì)

（Ⅱ）從該地區(qū)居民城鎮(zhèn)的居民中，隨機(jī)抽取位居民參加一次閱讀交流活動(dòng)，記這位居民中經(jīng)常閱讀的人數(shù)為，若用樣本的頻率作為概率，求隨機(jī)變量的分布列和期望.

附：，其中

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知：在四棱錐中，，，是的中點(diǎn)，是等邊三角形，平面平面.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

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【題目】某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品，一條流水線年產(chǎn)量為件，該生產(chǎn)線分為兩段，流水線第一段生產(chǎn)的半成品的質(zhì)量指標(biāo)會(huì)影響第二段生產(chǎn)成品的等級(jí)，具體見(jiàn)下表：

第一段生產(chǎn)的半成品質(zhì)量指標(biāo)

或

或

第二段生產(chǎn)的成品為一等品概率

0.2

0.4

0.6

第二段生產(chǎn)的成品為二等品概率

0.3

0.3

0.3

第二段生產(chǎn)的成品為三等品概率

0.5

0.3

0.1

從第一道生產(chǎn)工序抽樣調(diào)查了件，得到頻率分布直方圖如圖：

若生產(chǎn)一件一等品、二等品、三等品的利潤(rùn)分別是元、元、元.

（Ⅰ）以各組的中間值估計(jì)為該組半成品的質(zhì)量指標(biāo)，估算流水線第一段生產(chǎn)的半成品質(zhì)量指標(biāo)的平均值；

（Ⅱ）將頻率估計(jì)為概率，試估算一條流水線一年能為該公司創(chuàng)造的利潤(rùn)；

（Ⅲ）現(xiàn)在市面上有一種設(shè)備可以安裝到流水線第一段，價(jià)格是萬(wàn)元，使用壽命是年，安裝這種設(shè)備后，流水線第一段半成品的質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布，且不影響產(chǎn)量.請(qǐng)你幫該公司作出決策，是否要購(gòu)買(mǎi)該設(shè)備？說(shuō)明理由.

（參考數(shù)據(jù)：，，）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則的范圍是（ ）

A. B. C. D.

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