Question

已知橢圓C的焦點(diǎn)為F₁（0，-

3

），F(xiàn)₂（0，

3

），且點(diǎn)P（-

1

2

，

3

）在橢圓上，直線y=kx+1與C相交A，B兩點(diǎn)．
（1）求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若

OA

⊥

OB

，求出k的值（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意可得c=

3

，再利用橢圓的定義和性質(zhì)求得a、b的值，再根據(jù)焦點(diǎn)在y軸上，可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）由題意可得

OA

•

OB

=0，設(shè)點(diǎn)A（x₁，kx₁+1），B （x₂，kx₂+1），可得（1+k²）x₁•x₂+k（x₁+x₂）+1=0．再把直線方程和橢圓的方程聯(lián)立方程組，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理，求得k的值．

解答： 解：（1）由題意可得c=

3

，|PF₁|+|PF₂|=4=2a，∴a=2，∴b=

a2-c2

=1．
再根據(jù)焦點(diǎn)在y軸上，可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

y2

4

+x²=1．
（2）若

OA

⊥

OB

，則

OA

•

OB

=0．設(shè)點(diǎn)A（x₁，kx₁+1），B （x₂，kx₂+1），
則有 x₁•x₂+（ kx₁+1）•（kx₂+1）=（1+k²）x₁•x₂+k（x₁+x₂）+1=0 ①．
由

y=kx+1 y2 4 +x2=1

 求得 （4+k²）x²+2kx-3=0，∴由韋達(dá)定理可得 x₁+x₂=-

2k

4+k2

，x₁+•x₂=-

3

4+k2

．
再把它代入①求得 k=±

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，屬于中檔題．