【題目】已知點(diǎn)P是橢圓E:+y2=1上的任意一點(diǎn),F1,F2是它的兩個焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),動點(diǎn)Q滿足.
(1)求動點(diǎn)Q的軌跡方程;
(2)若已知點(diǎn)A(0,-2),過點(diǎn)A作直線l與橢圓E相交于B,C兩點(diǎn),求△OBC面積的最大值.
【答案】(1);(2)1
【解析】
(1)根據(jù)橢圓方程,寫出兩個焦點(diǎn)坐標(biāo);設(shè)出動點(diǎn)Q,根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算,求出P與Q的關(guān)系,再根據(jù)P在橢圓上,進(jìn)而求得動點(diǎn)Q的軌跡方程。
(2)首先根據(jù)題意可知直線的斜率必定存在,又因?yàn)檫^點(diǎn)A,可利用點(diǎn)斜式設(shè)出直線方程。聯(lián)立橢圓,設(shè)出B(x1,y1),C(x2,y2)的坐標(biāo);利用判別式大于0,可求得k的取值范圍;利用韋達(dá)定理表示出三角形OBC的面積,進(jìn)而結(jié)合基本不等式可求得最后面積的最大值。
(1)∵a2=4,b2=1,∴c=.
∴F1(-,0),F2(,0).
設(shè)Q(x,y),P(x0,y0),
∵動點(diǎn)Q滿足,
∴
解得x0=-,y0=-,
又(x0,y0)在+y2=1上,代入橢圓方程可得=1,∴動點(diǎn)Q的軌跡方程為=1.
(2)由題意可知:直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為y=kx-2,B(x1,y1),C(x2,y2).
聯(lián)立整理得(1+4k2)x2-16kx+12=0.
由Δ>0,解得k2>.
∴x1+x2=,x1x2=.
S△OBC=S△OAC-S△OAB=|OA|·(|x2|-|x1|)=|x2-x1|=
=.
令=t>0,化為4k2=t2+3.
∴S△OBC==1,
當(dāng)且僅當(dāng)t=2時取等號,此時k=±.
∴(S△OBC)max=1.
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【題目】交通部門對某路段公路上行駛的汽車速度實(shí)施監(jiān)控,從速度在50﹣90km/h的汽車中抽取150輛進(jìn)行分析,得到數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖所示,則速度在70km/h以下的汽車有輛.
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【題目】由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則:
①“mn=nm”類比得到“a·b=b·a”;
②“(m+n)t=mt+nt”類比得到“(a+b)·c=a·c+b·c”;
③“t≠0,mt=ntm=n”類比得到“c≠0,a·c=b·ca=b”;
④“|m·n|=|m|·|n|”類比得到“|a·b|=|a|·|b|”;
⑤“(m·n)t=m(n·t)”類比得到“(a·b)·c=a(b·c)”;
⑥“”類比得到.以上的式子中,類比得到的結(jié)論正確的是________.
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【題目】某中學(xué)團(tuán)委組織了“弘揚(yáng)奧運(yùn)精神,愛我中華”的知識競賽,從參加考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生,將其成績(均為整數(shù))分成六段[40,50),[50,60),…,[90,100]后畫出如下部分頻率分布直方圖.觀察圖形給出的信息,回答下列問題:
(1)求第四小組的頻率,并補(bǔ)全這個頻率分布直方圖;
(2)估計(jì)這次考試的及格率(60分及以上為及格)和平均分;
(3)從成績是[40,50)和[90,100]的學(xué)生中選兩人,求他們在同一分?jǐn)?shù)段的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知AB為半圓O的直徑,AB=4,C為半圓上一點(diǎn),過點(diǎn)C作半圓的切線CD,過點(diǎn)A作AD⊥CD于D,交半圓于點(diǎn)E,DE=1.
(1)求證:AC平分∠BAD;
(2)求BC的長.
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【題目】拋物線y2=2px(p>0)與直線y=x+1相切,A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2)是拋物線上兩個動點(diǎn),F為拋物線的焦點(diǎn),且|AF|+|BF|=8.
(1)求p的值.
(2)線段AB的垂直平分線l與x軸的交點(diǎn)是否為定點(diǎn)?若是,求出交點(diǎn)坐標(biāo);若不是,說明理由.
(3)求直線l的斜率的取值范圍.
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【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+1的導(dǎo)數(shù)滿足,其中常數(shù)a,b∈R.
(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;
(2)設(shè),求函數(shù)g(x)的極值.
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【題目】設(shè) , 為非零向量,則“存在負(fù)數(shù)λ,使得 =λ ”是 <0”的( 。
A.充分而不必要條件
B.必要而不充分條件
C.充分必要條件
D.既不充分也不必要條件
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