Question

已知函數(shù)y=f（x）滿足f（a-tanθ）=cotθ-1，（其中，a、θ∈R均為常數(shù)）
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）利用函數(shù)y=f（x）構(gòu)造一個(gè)數(shù)列{x_n}，方法如下：
對于給定的定義域中的x₁，令x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，x_n=f（x_n-1），…
在上述構(gòu)造過程中，如果x_i（i=1，2，3，…）在定義域中，構(gòu)造數(shù)列的過程繼續(xù)下去；如果x_i不在定義域中，則構(gòu)造數(shù)列的過程停止．
①如果可以用上述方法構(gòu)造出一個(gè)常數(shù)列{x_n}，求a的取值范圍；
②如果取定義域中的任一值作為x₁，都可以用上述方法構(gòu)造出一個(gè)無窮數(shù)列{x_n}，求a實(shí)數(shù)的值．

Answer 1

分析：（1）由

x=a-tanθ y=cotθ-1

，可推導(dǎo)出y=f（x）=

x+1-a

a-x

，（x≠a）．
（2）①根據(jù)題意，只需當(dāng)x≠a時(shí)，方程f（x）=x有解，方程x²+（1-a）x+1-a=0有不等于a的解．將x=a代入方程左邊，得左邊為1，故方程不可能有解x=a．由由根的判別式，可得a的取值范圍是（-∞，3]∪[1，+∞）．
②根據(jù)題意，

x+1-a

a-x

=a在R中無解，亦即當(dāng)x≠a時(shí)，方程（1+a）x=a²+a-1無實(shí)數(shù)解．由此能夠?qū)С鯽=-1．

解答：解：（1）令

x=a-tanθ y=cotθ-1

，則

tanθ=a-x，① cotθ=1+y，②

①×②，并整理，得y=

x+1-a

a-x

，
∴y=f（x）=

x+1-a

a-x

，（x≠a）．（4分）
（2）①根據(jù)題意，只需當(dāng)x≠a時(shí)，方程f（x）=x有解，
亦即方程x²+（1-a）x+1-a=0有不等于a的解．
將x=a代入方程左邊，得左邊為1，故方程不可能有解x=a．
由△=（1-a）²-4（1-a）≥0，得a≤-3或a≥1，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，3]∪[1，+∞）．（9分）
②根據(jù)題意，

x+1-a

a-x

=a在R中無解，
亦即當(dāng)x≠a時(shí)，方程（1+a）x=a²+a-1無實(shí)數(shù)解．
由于x=a不是方程（1+a）x=a²+a-1的解，
所以對于任意x∈R，方程（1+a）x=a²+a-1無實(shí)數(shù)解，
∴a=-1即為所求a的值．（14分）

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．