Question

已知遞增的等差數(shù)列{a_n}滿足：a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列，且a₁=1．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若bn=log2(1+

1

an

)，設(shè)T_n=b₁+b₂+…+b_n，求數(shù)列{

1

2Tn•2Tn+1

}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知得a22=a1•a4，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為：a_n=n．
（Ⅱ）由bn=1+

1

an

=

n+1

n

，得Tn=b1+b2+…+bn=log2(

2

1

×

3

2

×…×

n+1

n

)=log2(n+1)，由此能求出數(shù)列{

1

Tn•Tn+1

}的前n項(xiàng)和Sn=

n

2n+4

．

解答： （本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列，且a₁=1，
∴a22=a1•a4，即（1+d）²=1+3d，
∴d=1或d=0，
∵數(shù)列{a_n}為遞增等差數(shù)列，∴d=1，
∴a_n=1+（n-1）=n
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為：a_n=n…（6分）
（Ⅱ）∵bn=1+

1

an

=

n+1

n

，
∴Tn=b1+b2+…+bn=log2(

2

1

×

3

2

×…×

n+1

n

)=log2(n+1)，
∴

1

2Tn•2Tn+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

∴Sn=( 1 2 - 1 3 )+( 1 3 - 1 4 )+…+( 1 n+1 - 1 n+2 )   = 1 2 - 1 n+2 = n 2n+4

∴數(shù)列{

1

Tn•Tn+1

}的前n項(xiàng)和Sn=

n

2n+4

．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．