Question

已知函數(shù)f（x）=ax-

1

x

，且f（-2）=-

3

2

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性并加以證明；
（3）求函數(shù)f（x）在[

1

2

，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義,函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用函數(shù)f（x）=ax-

1

x

，且f（-2）=-

3

2

，求出a，即可求f（x）的解析式；
（2）f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，利用單調(diào)性的定義加以證明；
（3）f（x）在[

1

2

，2]上是增函數(shù)，可求函數(shù)f（x）在[

1

2

，2]上的最大值和最小值．

解答： 解：（1）∵f(-2)=-

3

2

，
∴-2a+

1

2

=-

3

2

…（1分）
得a=1，∴f(x)=x-

1

x

…（3分）
（2）f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)
設(shè)x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂…（4分）
f（x₁）-f（x₂）=x₁-

1

x1

-x₂+

1

x2

=

(x1-x2)(x1x2+1)

x1x2

…（7分）
∵0＜x₁＜x₂
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，x₁x₂+1＞0…（8分）
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．          …（9分）
（3）由（2）可知f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴f（x）在[

1

2

，2]上是增函數(shù)…（10分）
∴f(x)max=f(2)=

3

2

，f(x)min=f(

1

2

)=-

3

2

…（12分）

點評：本題考查函數(shù)的解析式，考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明，考查函數(shù)的最值，確定函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵．