【題目】設函數(shù)，其圖象在點處切線的斜率為-3.

（1）求與關系式；

（2）求函數(shù)的單調區(qū)間（用只含有的式子表示）；

（3）當時，令，設是函數(shù)的兩個零點， 是與的等差中項，求證： （為函數(shù)的導函數(shù)）.

【答案】（1）（2）見解析（3）見解析

【解析】試題分析：（1）由導數(shù)的幾何意義得，即可得解；

（2）由（1）知， ，討論， 和時導數(shù)的正負，從而得函數(shù)的單調性；

（3）根據(jù)條件得，兩式作差得，從而得， ，構造函數(shù)求最值即可證得.

試題解析：

（1）函數(shù)的定義域為，

，由得， .

（2）由（1）知， ，

①當時， 在上單調遞減；

②當時，令，得，

在上單調遞減，在上單調遞增；

③當時，若時， 在上單調遞減；

若時， 在上單調遞增，在上單調遞減；

綜上，當時， 的單調減區(qū)間為，單調增區(qū)間為，

當時， 的單調減區(qū)間為，

當時， 的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為.

（3）當時， ，則， ，

∵與是函數(shù)的兩個零點，∴，

兩式相減得， ，

∵，∴ ，

∵，∴ ，

∴ ，

令，∵，∴ ， ，

，

∴在單調遞減，∴， ，∴ .

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，島、相距海里．上午9點整有一客輪在島的北偏西且距島 海里的處，沿直線方向勻速開往島，在島停留分鐘后前往市．上午測得客輪位于島的北偏西且距島 海里的處，此時小張從島乘坐速度為海里/小時的小艇沿直線方向前往島換乘客輪去市．

（Ⅰ）若，問小張能否乘上這班客輪？

（Ⅱ）現(xiàn)測得， ．已知速度為海里/小時()的小艇每小時的總費用為()元，若小張由島直接乘小艇去市，則至少需要多少費用？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知某校甲、乙、丙三個年級的學生志愿者人數(shù)分別為240，160，160．現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽�。访瑢W去某敬老院參加獻愛心活動．

（Ⅰ）應從甲、乙、丙三個年級的學生志愿者中分別抽取多少人？

（Ⅱ）設抽出的7名同學分別用A，B，C，D，E，F，G表示，現(xiàn)從中隨機抽取2名同學承擔敬老院的衛(wèi)生工作．

（i）試用所給字母列舉出所有可能的抽取結果；

（ii）設M為事件“抽取的2名同學來自同一年級”，求事件M發(fā)生的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系中，以為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系．己知圓的圓心的坐標為半徑為,直線的參數(shù)方程為為參數(shù))

（Ⅰ）求圓C的極坐標方程；直線的普通方程;

（Ⅱ）若圓C和直線相交于A，B兩點，求線段AB的長.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓E的中心在原點，焦點在x軸上，橢圓的左頂點坐標為，離心率為．

求橢圓E的方程；

過點作直線l交E于P、Q兩點，試問：在x軸上是否存在一個定點M，使為定值？若存在，求出這個定點M的坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，已知曲線的參數(shù)方程為（， 為參數(shù)）.以坐標原點為極點， 軸的正半軸為極軸，取相同的長度單位建立極坐標系，直線的極坐標方程為.

（1）當時，求曲線上的點到直線的距離的最大值；

（2）若曲線上的所有點都在直線的下方，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】隨著資本市場的強勢進入，互聯(lián)網共享單車“忽如一夜春風來”，遍布了一二線城市的大街小巷.為了解共享單車在市的使用情況，某調查機構借助網絡進行了問卷調查，并從參與調查的網友中抽取了200人進行抽樣分析，得到下表（單位：人）：

（Ⅰ）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否在犯錯誤的概率不超過0.15的前提下認為市使用共享單車情況與年齡有關？（Ⅱ）現(xiàn)從所抽取的30歲以上的網友中利用分層抽樣的方法再抽取5人.

（1）分別求這5人中經常使用、偶爾或不用共享單車的人數(shù)；

（2）從這5人中，再隨機選出2人贈送一件禮品，求選出的2人中至少有1人經常使用共享單車的概率.

參考公式： ，其中.

參考數(shù)據(jù)：

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】下面有五個命題：

①函數(shù)的最小正周期是；

②終邊在y軸上的角的集合是；

③在同一坐標系中，函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象有一個公共點；

④把函數(shù)；

⑤在中，若，則是等腰三角形；

其中真命題的序號是（ ）

A．（1）（2）（3） B．（2）（3）（4）

C．（3）（4）（5） D．（1）（4）（5）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某種樹苗栽種時高度為A(A為常數(shù))米，栽種n年后的高度記為f(n)．經研究發(fā)現(xiàn)f(n)近似地滿足 f(n)＝，其中，a，b為常數(shù)，n∈N，f(0)＝A．已知栽種3年后該樹木的高度為栽種時高度的3倍．

（1）栽種多少年后，該樹木的高度是栽種時高度的8倍；

（2）該樹木在栽種后哪一年的增長高度最大．

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