【題目】已知函數(shù).

（1）若曲線在處切線的斜率為，判斷函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，證明，并指出a的取值范圍.

【答案】（1）為R上的增函數(shù)；（2）證明見解析，a的取值范圍是.

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合題意求出的值，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，利用單調(diào)性證明不等式后，即可確定滿足條件的a的取值范圍.

（1）由題，

則，得，

此時(shí)，由得.

則時(shí)，，為增函數(shù)；時(shí)，，為增函數(shù)，且，所以為R上的增函數(shù)

（2）①當(dāng)時(shí)，由得或，

若，由（1）知，為R上的增函數(shù).

由，，

所以只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意

若，則時(shí)，，為增函數(shù)；時(shí)，，為減函數(shù)；時(shí)，，為增函數(shù).

而，故最多只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意

若時(shí)，則時(shí)，，為增函數(shù)；時(shí)，，為減函數(shù)；時(shí)，，為增函數(shù)，得，故最多只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意

②當(dāng)時(shí)，由得，

由得，為減函數(shù)，由得，為增函數(shù)，

則.

又時(shí)，，時(shí)，，

所以當(dāng)時(shí)，始終有兩個(gè)零點(diǎn)，，

不妨令，，構(gòu)造函數(shù)，

所以，

由于時(shí)，，又，則恒成立，

所以為的減函數(shù)，

則，

即，故有.

又，是的兩個(gè)零點(diǎn)，則，

所以.結(jié)合的單調(diào)性得，

所以，所求a的取值范圍是.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知橢圓，拋物線，點(diǎn)A是橢圓與拋物線的交點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線l交橢圓于點(diǎn)B，交拋物線于M（B，M不同于A）．

（Ⅰ）若，求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)；

（Ⅱ）若存在不過原點(diǎn)的直線l使M為線段AB的中點(diǎn)，求p的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知拋物線E：（）與圓O：相交于A，B兩點(diǎn)，且.過劣弧上的動(dòng)點(diǎn)作圓O的切線交拋物線E于C，D兩點(diǎn)，分別以C，D為切點(diǎn)作拋物線E的切線，，相交于點(diǎn)M.

（1）求拋物線E的方程；

（2）求點(diǎn)M到直線距離的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，設(shè).求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）當(dāng)，時(shí)，證明：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】(本小題滿分12分)已知圓，圓，動(dòng)圓與圓外切并且與圓內(nèi)切，圓心的軌跡為曲線．

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）是與圓，圓都相切的一條直線，與曲線交于，兩點(diǎn)，當(dāng)圓的半徑最長時(shí)，求．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，討論極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖是某學(xué)校高三年級(jí)的三個(gè)班在一學(xué)期內(nèi)的六次數(shù)學(xué)測試的平均成績y關(guān)于測試序號(hào)x的函數(shù)圖象，為了容易看出一個(gè)班級(jí)的成績變化，將離散的點(diǎn)用虛線連接，根據(jù)圖象，給出下列結(jié)論：

①一班成績始終高于年級(jí)平均水平，整體成績比較好；

②二班成績不夠穩(wěn)定，波動(dòng)程度較大；

③三班成績雖然多次低于年級(jí)平均水平，但在穩(wěn)步提升.

其中錯(cuò)誤的結(jié)論的個(gè)數(shù)為（ ）

A.0B.1C.2D.3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，六邊形的六個(gè)內(nèi)角均相等，，M，N分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，現(xiàn)將，折起，使得B，F重合于點(diǎn)G，則二面角的余弦值的取值范圍是______.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】定義：過橢圓上的一點(diǎn)（不與長軸的端點(diǎn)重合）與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)確定的三角形稱為橢圓的焦點(diǎn)三角形；已知過橢圓上一點(diǎn)P（不與長軸的端點(diǎn)重合）的焦點(diǎn)三角形，且．

（1）求證：焦點(diǎn)三角形的面積為定值；

（2）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)三角形為，；

①若，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍；

②若，過點(diǎn)的直線與軸交于點(diǎn)，且，記，求的值．

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