【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+2alnx.
(1)若函數(shù)f(x)的圖象在(2,f(2))處的切線斜率為1,求實數(shù)a的值;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)若函數(shù) 在[1,2]上是減函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】
(1)

解:

由已知f'(2)=1,解得a=﹣3.


(2)

函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞).

(i)當a≥0時,f'(x)>0,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞);

(ii)當a<0時

當x變化時,f'(x),f(x)的變化情況如下:

x

f'(x)

0

+

f(x)

極小值

由上表可知,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是 ;

單調(diào)遞增區(qū)間是


(3)

,

由已知函數(shù)g(x)為[1,2]上的單調(diào)減函數(shù),

則g'(x)≤0在[1,2]上恒成立,

在[1,2]上恒成立.

在[1,2]上恒成立.

,在[1,2]上

所以h(x)在[1,2]為減函數(shù). ,

所以


【解析】(Ⅰ)先對函數(shù)求導,然后由由已知f'(2)=1,可求a(II)先求函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),要判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,需要判斷導數(shù) 的正負,分類討論:分(1)當a≥0時,(2)當a<0時兩種情況分別求解(II)由g(x)可求得g′(x),由已知函數(shù)g(x)為[1,2]上的單調(diào)減函數(shù),可知g'(x)≤0在[1,2]上恒成立,即 在[1,2]上恒成立,要求a的范圍,只要求解 ,在[1,2]上的最小值即可
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關知識可以得到問題的答案,需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】若函數(shù)滿足(其中.

(1)求函數(shù)的解析式,并判斷其奇偶性和單調(diào)性;

2)解關于的不等式.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,已知橢圓C: + =1(a>b>0)的離心率e= ,過點(0,﹣b),(a,0)的直線與原點的距離為 ,M(x0 , y0)是橢圓上任一點,從原點O向圓M:(x﹣x02+(y﹣y02=2作兩條切線,分別交橢圓于點P,Q.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若記直線OP,OQ的斜率分別為k1 , k2 , 試求k1k2的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖為一組合幾何體,其底面ABCD為正方形,PD⊥平面ABCD,EC∥PD且PD=AD=2EC=2.
(I)求證:AC⊥平面PDB;
(II)求四棱錐B﹣CEPD的體積;
(III)求該組合體的表面積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】算法如圖,若輸入m=210,n=117,則輸出的n為(
A.2
B.3
C.7
D.11

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】設直線l的方程為y=kx+b(其中k的值與b無關),圓M的方程為x2+y2﹣2x﹣4=0.
(1)如果不論k取何值,直線l與圓M總有兩個不同的交點,求b的取值范圍;
(2)b=1,l與圓交于A,B兩點,求|AB|的最大值和最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】計算下列幾個式子,結果為 的序號是 ①tan25°+tan35° tan25°tan35°,
,
③2(sin35°cos25°+sin55°cos65°),

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】設f(x)是定義在R上恒不為零的函數(shù),且對任意的x、y∈R都有f(x)f(y)=f(x+y),若a1= ,an=f(n)(n∈N*),則數(shù)列{an}的前n項和Sn的取值范圍是(
A.[ ,1)
B.[ ,1]
C.( ,1)
D.( ,1]

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn , 且a1=1,Sn+1﹣2Sn=1(n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若數(shù)列{bn}滿足bn=n+ ,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn

查看答案和解析>>

同步練習冊答案