【題目】已知函數(shù),(其中是常數(shù)).
(Ⅰ)求過點與曲線相切的直線方程;
(Ⅱ)是否存在的實數(shù),使得只有唯一的正數(shù),當(dāng)時不等式恒成立,若這樣的實數(shù)存在,試求,的值;若不存在,請說明理由.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)存在實數(shù),只有唯一值,
【解析】
(Ⅰ)先求導(dǎo)數(shù),根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義用切點坐標(biāo)表示切線斜率,再根據(jù)點斜式得切線方程,最后根據(jù)切線過點求切點坐標(biāo),即得結(jié)果,
(Ⅱ)先化簡不等式,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)單調(diào)性,確定最小值取法,再根據(jù)最小值不大于零,結(jié)合解得唯一性確定,的值.
解:(Ⅰ)設(shè)過點的直線與曲線相切于點,
因,則,
所以在處切線斜率為,
則在處切線方程為,
將代入切線方程,得,
所以,
所以切線方程為;
(Ⅱ)假設(shè)存在的正實數(shù),使得只有唯一的正數(shù),當(dāng)時不等式恒成立,即恒成立,
因為,所以,即,
令
則,由于,即,
(1°)當(dāng)即時,
時,,則在上為增函數(shù),
時,,則在上為減函數(shù),
則,
即,令,
則,由,得,
時,,則在區(qū)間上為減函數(shù),
時,,則在區(qū)間上為增函數(shù),
因此存在唯一的正數(shù),使得,故只能.
所以,
所以,此時只有唯一值.
(2°)當(dāng)即時,,所以在上為增函數(shù),
所以,即,故.
所以滿足的不唯一,
綜上,存在實數(shù),只有唯一值,當(dāng)時,恒有原式成立.
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【題目】已知不等式|x+1|>|2﹣x|+1的解集為M,且a,b,c∈M.
(1)比較|a﹣b|與|1﹣ab|的大小,并說明理由;
(2)若,求a2+b2+c2的最小值.
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【題目】分形幾何學(xué)是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學(xué).分形的外表結(jié)構(gòu)極為復(fù)雜,但其內(nèi)部卻是有規(guī)律可尋的.一個數(shù)學(xué)意義上分形的生成是基于一個不斷迭代的方程式,即一種基于遞歸的反饋系統(tǒng).下面我們用分形的方法來得到一系列圖形,如圖1,線段的長度為,在線段上取兩個點,,使得,以為一邊在線段的上方做一個正六邊形,然后去掉線段,得到圖2中的圖形;對圖2中的最上方的線段作相同的操作,得到圖3中的圖形;依此類推,我們就得到了以下一系列圖形:
記第個圖形(圖1為第1個圖形)中的所有線段長的和為,則(1)______;(2)如果對,恒成立,那么線段的長度的取值范圍是_______.
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【題目】某網(wǎng)店經(jīng)營的一種商品進(jìn)行進(jìn)價是每件10元,根據(jù)一周的銷售數(shù)據(jù)得出周銷售量(件)與單價(元)之間的關(guān)系如下圖所示,該網(wǎng)店與這種商品有關(guān)的周開支均為25元.
(1)根據(jù)周銷售量圖寫出(件)與單價(元)之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)寫出利潤(元)與單價(元)之間的函數(shù)關(guān)系式;當(dāng)該商品的銷售價格為多少元時,周利潤最大?并求出最大周利潤.
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【題目】某單位40歲以上的女性職工共有60人,為了調(diào)查一下體重和年齡的關(guān)系,將這60人隨機按1~60編號,用系統(tǒng)抽樣的方法從中抽取10人,測量一下體重.
(1)若被抽出的號碼其中一個為7,則最后被抽出的號碼是多少?
(2)被抽取的10個人的體重(單位:),用莖葉圖表示如圖,求這10人體重的中位數(shù)與平均數(shù);
(3)從這10個人中體重超過的人中隨機抽取2人,參加健康指導(dǎo)培訓(xùn),求體重為的人被抽到的概率.
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【題目】已知函數(shù),(,).
(1)若,求的極值和單調(diào)區(qū)間;
(2)若在區(qū)間上至少存在一點,使得成立,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).在極坐標(biāo)系(與平面直角坐標(biāo)系取相同的長度單位,且以原點為極點,以軸非負(fù)半軸為極軸)中,直線的方程為.
(1)求曲線的普通方程及直線的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)是曲線上的任意一點,求點到直線的距離的最大值.
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【題目】已知函數(shù),.
(1)當(dāng)時,求在處的切線方程;
(2)討論的單調(diào)性;
(3)若有兩個零點,求的取值范圍.
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【題目】已知定義在上的函數(shù)對任意的都滿足,當(dāng)≤時,,若函數(shù),且至少有6個零點,則取值范圍是
A.B.
C.D.
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