Question

19．已知函數(shù)f（x）=ln（x+1），g（x）=kx（k∈R）．
（1）證明：當x＞0時，f（x）＜x；
（2）證明：當k＜1時，存在x₀＞0，使得對任意的x∈（0，x₀），恒有f（x）＞g（x）．

Answer 1

分析 （1）構造函數(shù)F（x）=f（x）-x=ln（1+x）-x，x∈（0，+∞），利用函數(shù)F（x）的單調(diào)性，只需求出F（x）值域即可；
（2）構造函數(shù)G（x）=f（x）-g（x）=ln（1+x）-kx，x∈（0，+∞），利用其單調(diào)性，討論其值域情況即可．

解答 解：（1）令F（x）=f（x）-x=ln（1+x）-x，x∈（0，+∞），
則有F′（x）=$\frac{1}{1+x}$-1=-$\frac{x}{1+x}$．…（3分）
當x∈（0，+∞）時，F(xiàn)′（x）＜0，所以F（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；…（6分）
故當x＞0時，F(xiàn)（x）＜F（0）=0，即當x＞0時，f（x）＜x．…（8分）
（2）令G（x）=f（x）-g（x）=ln（1+x）-kx，x∈（0，+∞），
則有G′（x）=$\frac{1}{1+x}$-k=$\frac{-kx+（1-k）}{1+x}$．…（10分）
當k≤0時G′（x）＞0，所以G（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
G（x）＞G（0）=0，故對任意正實數(shù)x₀均滿足題意．…（13分）
當0＜k＜1時，令G′（x）=0，得x=$\frac{1-k}{k}$=$\frac{1}{k}$-1＞0．
取x₀=$\frac{1}{k}$-1，對任意x∈（0，x₀），恒有G′（x）＞0，…（16分）
從而G（x）在（0，x₀）上單調(diào)遞增，G（x）＞G（0）=0，即f（x）＞g（x）．…（18分）

點評 本題考查了函數(shù)中的證明恒成立不等式，構造新函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性處理的基本方法必須掌握，屬于中檔題．