Question

【題目】已知橢圓的離心率為，以橢圓E的長軸和短軸為對角線的四邊形的面積為.

（1）求橢圓E的方程；

（2）若直線與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)P為橢圓E上一動點(diǎn)，且滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.當(dāng)時，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由離心率及四邊形的面積和a，b，c之間的關(guān)系求出橢圓的方程；

（2）將直線與橢圓聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，，可得.進(jìn)而寫出P的坐標(biāo)，P在橢圓上求出m的范圍，進(jìn)而求出的表達(dá)式，由反比例函數(shù)的單調(diào)性求出它的最小值.

解：（1）依題意得，.以橢圓E的長軸和短軸為對角線的四邊形的面積為，則，解得，.

所以橢圓E的方程為.

（2）設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，

聯(lián)立方程得，，

，，

因為，即，所以.

所以點(diǎn)，又點(diǎn)P在橢圓C上，所以有，

化簡得，

所以，化簡，因為，所以，

因為，

又，，所以.

令，則，

當(dāng)時，取得最小值，最小值為.