已知拋物線,為坐標(biāo)原點(diǎn),動(dòng)直線與
拋物線交于不同兩點(diǎn)
(1)求證:·為常數(shù);
(2)求滿足的點(diǎn)的軌跡方程。
(1)略(參考解析);(2).
解析試題分析:(1)拋物線與直線聯(lián)立.由向量的數(shù)量積結(jié)合利用韋達(dá)定理可得結(jié)論.(2)根據(jù)向量的相等得到點(diǎn)M關(guān)于A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系,再由第一步的韋達(dá)定理消去k值即可.但要注意軌跡的范圍.本題主要就是拋物線與直線的知識(shí).向量知識(shí)在解析幾何中的應(yīng)用.
試題解析:解:將代入,整理得,
因?yàn)閯?dòng)直線與拋物線C交于不同兩點(diǎn)A、B,所以且,即
解得: 且.
設(shè),,則.
(1)證明:·
==
∴·為常數(shù).
(2)解:
.
設(shè),則 消去得: .
又由且得:, , ∴,
所以,點(diǎn)的軌跡方程為.
考點(diǎn):1.拋物線與直線的關(guān)系.2.向量的和差知識(shí).3.關(guān)注軌跡的范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知橢圓的離心率為,其中左焦點(diǎn)(-2,0).
(1) 求橢圓C的方程;
(2) 若直線y=x+m與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B,且線段AB的中點(diǎn)M在圓x2+y2=1上,求m的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,過(guò)點(diǎn)的兩直線與拋物線相切于A、B兩點(diǎn), AD、BC垂直于直線,垂足分別為D、C.
(1)若,求矩形ABCD面積;
(2)若,求矩形ABCD面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,直線y=kx+b與橢圓交于A、B兩點(diǎn),記△AOB的面積為S.
(1)求在k=0,0<b<1的條件下,S的最大值;
(2)當(dāng)|AB|=2,S=1時(shí),求直線AB的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知拋物線與橢圓有公共焦點(diǎn),且橢圓過(guò)點(diǎn).
(1)求橢圓方程;
(2)點(diǎn)、是橢圓的上下頂點(diǎn),點(diǎn)為右頂點(diǎn),記過(guò)點(diǎn)、、的圓為⊙,過(guò)點(diǎn)作⊙ 的切線,求直線的方程;
(3)過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)作互相垂直的兩條直線分別交橢圓于另外一點(diǎn)、,試問(wèn)直線是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn),若是,求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不是,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)B與點(diǎn)A(-1,1)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng),P是動(dòng)點(diǎn),且直線AP與BP的斜率之積等于.
(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程;
(2)設(shè)直線AP和BP分別與直線x=3交于點(diǎn)M,N,問(wèn):是否存在點(diǎn)P使得△PAB與△PMN的面積相等?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3,最小值為1.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若直線l:與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn)(A,B不是左右頂點(diǎn)),且以AB為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)。求證: 直線l過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3,最小值為1.
(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若直線l:與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn)(A,B不是左右頂點(diǎn)),且以AB為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)。求證: 直線l過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知橢圓C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)F在軸上,離心率,點(diǎn)在橢圓C上.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若斜率為的直線交橢圓與、兩點(diǎn),且、、成等差數(shù)列,點(diǎn)M(1,1),求的最大值.
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