Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=3a_n+2，n∈N^*，a₁=1，b_n=a_n+1
（1）證明數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列．
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n與前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得a_n+1+1=3（a_n+1），又a₁=1，b_n=a_n+1，由此能證明數(shù)列{b_n}為首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列．
（2）由（1）知a_n+1=2×3^n-1，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n與前n項(xiàng)和S_n．

解答： （1）證明：∵a_n+1=3a_n+2，n∈N^*，a₁=1，
∴a_n+1+1=3（a_n+1），又a₁=1，b_n=a_n+1
∴

bn+1

bn

=

an+1+1

an+1

=3，
∴數(shù)列{b_n}為首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列．
（2）解：由（1）知a_n+1=2×3^n-1，∴a_n=2×3^n-1-1．
∴S_n=2×（1+3+3²+…+3^n-1）-n
=2×

1×(1-3n)

1-3

-n
=3ⁿ-n-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．