Question

設(shè)f（x）=ax²-6lnx，其中a∈R，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與y軸相交于點（0，3）．
（1）確定a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）由f′（x）=

2ax2-6

x

，（x＞0）得f′（1）=2a-6，從而切線方程為：y-a=（2a-6）（x-1），令x=0，得：y=6-a，進而求出a的值，
（2）由（1）得f′（x）=

6(x+1)(x-1)

x

，（x＞0），從而f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，進而f（x）的極小值是f（1）=3，無極大值．

解答： 解：（1）∵f′（x）=

2ax2-6

x

，（x＞0）
∴f′（1）=2a-6，
又f（1）=a，
∴切線方程為：y-a=（2a-6）（x-1），
令x=0，得：y=6-a，
∴6-a=3，
∴a=3；
（2）由（1）得f′（x）=

6(x+1)(x-1)

x

，（x＞0），
令f′（x）＞0，解得：x＞1，
令f′x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
∴f（x）的極小值是f（1）=3，無極大值．

點評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導數(shù)的應(yīng)用，參數(shù)的求法，是一道基礎(chǔ)題．