【題目】選修4-5:不等式選講
設(shè)函數(shù)f(x)=e2x-aln x.
(1)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(2)證明:當(dāng)a>0時(shí),f(x)≥2a+aln.
【答案】(1)當(dāng)a≤0時(shí)沒(méi)有零點(diǎn).當(dāng)a>0時(shí)存在唯一零點(diǎn).(2)見(jiàn)解析
【解析】試題分析:(1) 先求導(dǎo)數(shù),根據(jù)a確定導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù),(2)先確定f(x)最小值,再根據(jù)基本不等式求最值,確定不等式
試題解析:解:(1)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),f′(x)=2e2x- (x>0).
當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)>0,f′(x)沒(méi)有零點(diǎn).
當(dāng)a>0時(shí),因?yàn)閑2x單調(diào)遞增,-單調(diào)遞增,所以f′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.又f′(a)>0,當(dāng)b滿足0<b<且b<時(shí),f′(b)<0,故當(dāng)a>0時(shí),f′(x)存在唯一零點(diǎn).
(2)證明:由(1)可設(shè)f′(x)在(0,+∞)上的唯一零點(diǎn)為x0.當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),f′(x)<0;當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí),f′(x)>0.
故f(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減,在(x0,+∞)上單調(diào)遞增,所以當(dāng)x=x0時(shí),f(x)取得最小值,最小值為f(x0).
由于2e2x0-=0,所以f(x0)=+2ax0+aln≥2a+aln.
故當(dāng)a>0時(shí),f(x)≥2a+aln.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(2017·石家莊一模)祖暅?zhǔn)悄媳背瘯r(shí)期的偉大數(shù)學(xué)家,5世紀(jì)末提出體積計(jì)算原理,即祖暅原理:“冪勢(shì)既同,則積不容異”.意思是:夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體,被平行于這兩個(gè)平面的任何一個(gè)平面所截,如果截面面積都相等,那么這兩個(gè)幾何體的體積一定相等.現(xiàn)有以下四個(gè)幾何體:圖①是從圓柱中挖去一個(gè)圓錐所得的幾何體,圖②、圖③、圖④分別是圓錐、圓臺(tái)和半球,則滿足祖暅原理的兩個(gè)幾何體為( )
A. ①② B. ①③
C. ②④ D. ①④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(I)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(Ⅱ)求證:存在唯一的,使得曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為;
(Ⅲ)比較與的大小,并加以證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某市教育局對(duì)該市普通高中學(xué)生進(jìn)行學(xué)業(yè)水平測(cè)試,試卷滿分120分,現(xiàn)從全市學(xué)生中隨機(jī)抽查了10名學(xué)生的成績(jī),其莖葉圖如下圖所示:
(1)已知10名學(xué)生的平均成績(jī)?yōu)?8,計(jì)算其中位數(shù)和方差;
(2)已知全市學(xué)生學(xué)習(xí)成績(jī)分布服從正態(tài)分布,某校實(shí)驗(yàn)班學(xué)生30人.
①依據(jù)(1)的結(jié)果,試估計(jì)該班學(xué)業(yè)水平測(cè)試成績(jī)?cè)?/span>的學(xué)生人數(shù)(結(jié)果四舍五入取整數(shù));
②為參加學(xué)校舉行的數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽,該班決定推薦成績(jī)?cè)?/span>的學(xué)生參加預(yù)選賽若每個(gè)學(xué)生通過(guò)預(yù)選賽的概率為,用隨機(jī)變量表示通過(guò)預(yù)選賽的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
正態(tài)分布參考數(shù)據(jù):
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在小明的婚禮上,為了活躍氣氛,主持人邀請(qǐng)10位客人做一個(gè)游戲.第一輪游戲中,主持人將標(biāo)有數(shù)字1,2,…,10的十張相同的卡片放入一個(gè)不透明箱子中,讓客人依次去摸,摸到數(shù)字6,7,…,10的客人留下,其余的淘汰,第二輪放入1,2,…,5五張卡片,讓留下的客人依次去摸,摸到數(shù)字3,4,5的客人留下,第三輪放入1,2,3三張卡片,讓留下的客人依次去摸,摸到數(shù)字2,3的客人留下,同樣第四輪淘汰一位,最后留下的客人獲得小明準(zhǔn)備的禮物.已知客人甲參加了該游戲.
(1)求甲拿到禮物的概率;
(2)設(shè)表示甲參加游戲的輪數(shù),求的概率分布和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐中,底面為矩形,側(cè)面為正三角形,且平面 平面, 為中點(diǎn), .
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)若二面角的平面角大小滿足,求四棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在極坐標(biāo)系中,圓的圓心坐標(biāo)為,半徑為2.以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為的正半軸,取相同的長(zhǎng)度單位建立平面直角坐標(biāo)系,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(1)求圓的極坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)與圓的交點(diǎn)為, 與軸的交點(diǎn)為,求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-5:不等式選講
已知函數(shù).
(1)解不等式;
(2)若關(guān)于的方程的解集為空集,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù), .
(Ⅰ)求函數(shù)的最小值.
(Ⅱ)是否存在一次函數(shù),使得對(duì)于,總有,且成立?若存在,求出的表達(dá)式;若不存在,說(shuō)明理由.
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