已知四棱錐的三視圖和直觀圖如下圖所示，其中正視圖、側(cè)視圖是直角三角形，俯視圖是有一條對(duì)角線的正方形.是側(cè)棱上的動(dòng)點(diǎn)．

(1)求證：；
(2)若為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值.

（1）參考解析；（2）；（3）

解析試題分析：（1）要證明，要轉(zhuǎn)到線面垂直，通過(guò)觀察需證明平面.所以要證明垂直于平面兩條相交直線，顯然，.從而可得結(jié)論.
（2）要求直線與平面所成角的正弦值，需要找到直線與平面所成的角.通過(guò)證明平面平面.即可得到點(diǎn)E到平面的投影在PO（O是AC與BD的交點(diǎn)）上.這樣就可以求出直線與平面所成的角，再通運(yùn)算即可求出結(jié)論.本小題也可已建立空間坐標(biāo)系來(lái)求.
（3）若四點(diǎn)在同一球面上，求該球的體積.依題意可得.只要把圖形補(bǔ)齊為一個(gè)長(zhǎng)方體.外接球的直徑就是長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng).即可求結(jié)論.
試題解析：（1）證明：由已知

,
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/0c/e/fsgmg2.png" style="vertical-align:middle;" />，
(2)解法一：連AC交BD于點(diǎn)O，連PO，由(1)知
則，為與平面所成的角.
,則
法二：空間直角坐標(biāo)法，略.
(3)解：以正方形為底面，為高補(bǔ)成長(zhǎng)方體，此時(shí)對(duì)角線的長(zhǎng)為球的直徑，
,. 
考點(diǎn)：1.線線垂直.2.線面所成的角.3.割補(bǔ)思想.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，菱形的邊長(zhǎng)為2，為正三角形，現(xiàn)將沿向上折起，折起后的點(diǎn)記為，且，連接．

（1）若為的中點(diǎn)，證明：平面；
（2）求三棱錐的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，四棱錐中，底面是菱形，，，,,,是的中點(diǎn)，上的點(diǎn)滿足．

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求三棱錐的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

在長(zhǎng)方體中，截下一個(gè)棱錐，求棱錐的體積與剩余部分的體積之比．

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如圖，正三棱柱ABC-A'B'C'中，D是BC的中點(diǎn)，AA'=AB=2

(1)求證：ADB'D；
(2)求三棱錐A'-AB'D的體積。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知半徑為的球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正方體（即正方體的頂點(diǎn)都在球面上）.
（1）求此球的體積；
（2）求此球的內(nèi)接正方體的體積；
（3）求此球的表面積與其內(nèi)接正方體的全面積之比.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖,正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直,AD丄CD,AB//CD,AB=AD=CD=2,點(diǎn)M在線段EC上.

(I)當(dāng)點(diǎn)M為EC中點(diǎn)時(shí)，求證: 面;
(II)求證:平面BDE丄平面BEC；
(III)若平面說(shuō)BDM與平面ABF所成二面角銳角,且該二面角的余弦值為時(shí)，求三棱錐M-BDE的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示．已知正視圖是底邊長(zhǎng)為1的平行四邊形，側(cè)視圖是一個(gè)長(zhǎng)為，寬為1的矩形，俯視圖為兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形拼成的矩形.

(1)求該幾何體的體積V；
(2)求該幾何體的表面積S.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，在直角梯形中，，∥，，，將沿折起，使平面平面，得到幾何體，如圖2所示．

(Ⅰ)求證：平面；
(Ⅱ)求幾何體的體積．

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