設(shè)函數(shù)f(x)=x3-3ax+b(a≠0).
(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處與直線y=2相切,求a、b的值;
(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.
分析:(1)求出f(x)的導(dǎo)函數(shù),由曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處與直線y=2相切,把x=1代入導(dǎo)函數(shù)得到導(dǎo)函數(shù)值為0,把x=1代入f(x)中得到函數(shù)值為2,列出關(guān)于a與b的方程組,求出方程組的解即可得到a和b的值;
(2)把導(dǎo)函數(shù)分解因式,分a大于0和a小于0兩種情況討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù),即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
解答:解:(1)f'(x)=3x2-3a,(2分)
∵曲線在點(diǎn)(1,f(1))處與直線y=2相切,
f′(1)=0
f(1)=2
3-3a=0
1-3a+b=2
,(4分)
解得
a=1
b=4
.(5分)
(2)∵f'(x)=3x2-3a=3(x2-a)(a≠0)(7分)
(i)當(dāng)a<0時(shí),f'(x)>0恒成立,f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增;(9分)
(ii)當(dāng)a>0時(shí),由f'(x)>0,得x>
a
x<-
a
,(10分)
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,-
a
)和(
a
,+∞);單調(diào)減區(qū)間為(-
a
,
a
).(12分)
點(diǎn)評:此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點(diǎn)切線方程的斜率,會(huì)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的得到區(qū)間,是一道中檔題.
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18、設(shè)函數(shù)f(x)=x3-3ax2+3bx的圖象與直線12x+y-1=0相切于點(diǎn)(1,-11).
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.

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設(shè)函數(shù)f(x)=x3+ax2+x+1,a∈R.
(1)若x=1時(shí),函數(shù)f(x)取得極值,求函數(shù)f(x)的圖象在x=-1處的切線方程;
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(
12
,1)
內(nèi)不單調(diào),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=x3+ax2-a2x+5(a>0)
(1)當(dāng)函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí),求a的值;
(2)若a∈[3,6],當(dāng)x∈[-4,4]時(shí),求函數(shù)f(x)的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=x3-3x2-9x-1.求:
(Ⅰ)函數(shù)在(1,f(1))處的切線方程;
(Ⅱ)函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=x3•cosx+1,若f(a)=5,則f(-a)=
 

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