已知函數(shù)f(x)exxR.

(1)若直線ykx1f(x)的反函數(shù)的圖像相切求實數(shù)k的值;

(2)x>0,討論曲線yf(x)與曲線ymx2(m>0)公共點的個數(shù).

 

1k20<m<,曲線yf(x)ymx2沒有公共點;若m,曲線yf(x)ymx2有一個公共點;若m>,曲線yf(x)ymx2有兩個公共點

【解析】(1)f(x)的反函數(shù)為g(x)ln x.

設直線ykx1g(x)ln x的圖像在P(x0,y0)處相切,則有y0kx01ln x0,kg′(x0)

解得x0e2,k.

(2)曲線yexymx2的公共點個數(shù)等于曲線y與直線ym的公共點個數(shù).

φ(x),φ′(x),∴φ′(2)0.

x∈(0,2),φ′(x)<0,φ(x)(0,2)上單調(diào)遞減;當x∈(2,∞),φ′(x)>0,φ(x)(2∞)上單調(diào)遞增.

∴φ(x)(0,∞)上的最小值為φ(2).

綜上所述x>0,大致圖像如圖所示,

0<m<曲線yf(x)ymx2沒有公共點;

m,曲線yf(x)ymx2有一個公共點;

m>,曲線yf(x)ymx2有兩個公共點

 

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