Question

3．已知函數(shù)f（x）=x+sinx（x∈R），當$θ∈（{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}）$時，f（asinθ）+f（1-a）＞0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． $（{0，\frac{{2-\sqrt{2}}}{2}}）$
• B． $（{2-\sqrt{2}，1}）$
• C． $（{1，2+\sqrt{2}}]$
• D． $（{-∞，2+\sqrt{2}}]$

Answer 1

分析 利用奇偶函數(shù)的定義可判定f（x）=x+sinx為奇函數(shù)，再利用導數(shù)法克判斷出f（x）=x+sinx為增函數(shù)，分離參數(shù)a，可得g（θ）=$\frac{1}{1-sinθ}$在區(qū)間$（\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$上單調遞增，從而得到a≤g（$\frac{π}{4}$）=2+$\sqrt{2}$，得到答案．

解答 解：∵f（x）=x+sinx，
∴f（-x）=-x+sin（-x）=-x-sinx=-f（x），
∴函數(shù)f（x）=x+sinx為奇函數(shù)，
又f′（x）=1+cosx≥0，
∴函數(shù)f（x）=x+sinx為增函數(shù)，
∴f（asinθ）+f（1-a）＞0恒成立?f（asinθ）＞-f（1-a）=f（a-1），
∴asinθ＞a-1，
∵當$θ∈（{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}）$時，sinθ＞0，
∴a＜$\frac{1}{1-sinθ}$（$\frac{π}{4}$＜θ＜$\frac{π}{2}$）恒成立，∵g（θ）=$\frac{1}{1-sinθ}$在區(qū)間$（\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$上單調遞增，
∴a≤g（$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}$=2+$\sqrt{2}$，
∴實數(shù)a的取值范圍是（-∞，2+$\sqrt{2}$]，
故選：D．

點評 本題考查函數(shù)恒成立問題，考查函數(shù)奇偶性與單調性的判定及應用，分離參數(shù)a是關鍵，考查等價轉化思想與運算求解能力，屬于難題．