Question

某學生對函數(shù)f（x）=xsinx進行研究，得出如下四個結論：
①函數(shù)f（x）在[-

π

2

，

π

2

]上單調(diào)遞增；
②存在常數(shù)M＞0，使|f（x）|≤M|x|對一切實數(shù)x均成立；
③函數(shù)f（x）在（0，π）無最小值，但一定有最大值；
④點（π，0）是函數(shù)y=f（x）圖象的一個對稱中心．
其中正確的是（　�。�

• A、③
• B、②③
• C、②④
• D、①②④

Answer 1

分析：①化簡函數(shù)的表達式，判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，即可判定在[-

π

2

，

π

2

]上單調(diào)遞增的正誤；
②找出一個常數(shù)M，使|f（x）|≤M|x|對一切實數(shù)x均成立即可；
③利用函數(shù)的單調(diào)性，判斷函數(shù)f（x）在（0，π）的最值即可；
④找出關于點（π，0）的對稱點是否關于（π，0）對稱即可判斷正誤；

解答：解：①f（-x）=-xsin（-x）=f（x），易知f（x）是偶函數(shù)，因此f（x）=xsinx在[-

π

2

，

π

2

]上不可能單調(diào)遞增；
②取M=1即可說明結論是正確的；
③由②知|f（x）|≤|x|，故在（0，π）一定有最大值，由于f（x）＞0，且和0無限靠近，因此無最小值；
④f(

π

2

)=

π

2

，f(

3π

2

)=-

3π

2

，f(

π

2

)≠-f(

3π

2

)．故點（π，0）不是函數(shù)y=f（x）圖象的一個對稱中心．
故選B．

點評：本題是基礎題，考查三角函數(shù)的基本性質(zhì)，牢記基本知識，基本性質(zhì)是解好數(shù)學題目的關鍵．