分析 (1)設(shè)橢圓的右頂點為(a,0)(a>0),則$\frac{|a-\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=1,解得a.又離心率$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$,解出即可得出橢圓的方程.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),N(x0,0),由$\overrightarrow{NA}$=-$\frac{7}{5}$$\overrightarrow{NB}$,可得y1=-$\frac{7}{5}$y2.易知當(dāng)直線l的斜率不存在或斜率為0時,不成立.于是設(shè)直線l的方程為y=kx-1(k≠0),與橢圓方程聯(lián)立消去x得(4k2+1)y2+2y+1-8k2=0,利用根與系數(shù)的關(guān)系解得k,即可得出.
解答 解:(1)設(shè)橢圓的右頂點為(a,0)(a>0),則$\frac{|a-\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=1,
解得a=2$\sqrt{2}$或a=0(舍去).
又離心率$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,故c=$\sqrt{6}$,b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{2}$,
故橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),N(x0,0),
∵$\overrightarrow{NA}$=-$\frac{7}{5}$$\overrightarrow{NB}$,∴(x1-x0,y1)=-$\frac{7}{5}$(x2-x0,y2),y1=-$\frac{7}{5}$y2.①
易知當(dāng)直線l的斜率不存在或斜率為0時,①不成立,
于是設(shè)直線l的方程為y=kx-1(k≠0),聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\\{y=kx-1}\end{array}\right.$,
消去x得(4k2+1)y2+2y+1-8k2=0,②
∵△>0,∴直線與橢圓相交,
于是y1+y2=-$\frac{2}{4{k}^{2}+1}$,③y1y2=$\frac{1-8{k}^{2}}{4{k}^{2}+1}$,④
由①③得,y2=$\frac{5}{4{k}^{2}+1}$,y1=-$\frac{7}{4{k}^{2}+1}$,
代入④整理得8k4+k2-9=0,k2=1,k=±1,
∴直線l的方程是y=x-1或y=-x-1.
點評 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、向量坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)、點到直線的距離公式、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系,考查了推理能力與計算能力,屬于難題.
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A. | ①③ | B. | ②④ | C. | ②③ | D. | ③④ |
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