Question

已知數(shù)列的前三項分別為，，，（其中為正常數(shù)）。設(shè)。

（1）歸納出數(shù)列的通項公式，并證明數(shù)列不可能為等比數(shù)列；

（2）若=1，求的值；

（3）若=4，試證明：當時，．

 

Answer 1

（1），證明詳見解析；（2）；（3）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)條件中給出的的表達式，可以歸納出數(shù)列的通項公式為，證明不可能為等比數(shù)列可以考慮采用反證法來證明，假設(shè)為等比數(shù)列，可以得到與事實不符的等式，從而得證；（2）若時， ∴，

∴，利用錯位相減法進行數(shù)列求和，即可得到f(2)的表達式；（3）當=4，欲證當時，，即證，嘗試采用分析法，從要證明的不等式出發(fā)，執(zhí)果索因，即可得證

（1）數(shù)列的通項公式為 2分

下面證明數(shù)列不可能為等比數(shù)列：

假設(shè)數(shù)列為等比數(shù)列，則，即（），

即，兩邊平方整理得：4=0，矛盾，

故數(shù)列不可能為等比數(shù)列 5分

（2）若，，∴ ，∴，

∴ ①

②

①-②得

∴ 9分

（3）若=4，

法一：當時，欲證 ，

只需證

只需證

只需證

只需證

只需證

顯然 不等式成立，

因此 當時，． 14分

法二：

， ，

故．

考點： 1、數(shù)學(xué)歸納法；2、反證法；3、錯位相減法進行數(shù)列求和；4、分析法證明不等式.