Question

隨機變量X的分布列如下表如示，若數(shù)列{p_n}是以p₁為首項，以q為公比的等比數(shù)列，則稱隨機變量X服從等比分布，記為Q（p₁，q）．現(xiàn)隨機變量X∽Q（，2）．

X	1	2	…	n
P	p1	p2	…	pn

（Ⅰ）求n 的值并求隨機變量X的數(shù)學期望EX；
（Ⅱ）一個盒子里裝有標號為1，2，…，n且質地相同的標簽若干張，從中任取1張標簽所得的標號為隨機變量X．現(xiàn)有放回的從中每次抽取一張，共抽取三次，求恰好2次取得標簽的標號不大于3的概率．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）依題意得求出和的表達式進而解得n=6，所以可得X的分布列，求出隨機變量X的期望，利用數(shù)列的有關知識求和即可得到答案．
（Ⅱ）由（Ⅰ）中隨機變量X的分布列可得隨機抽取一次取得標簽的標號不大于3的概率，進而根據(jù)獨立重復試驗的公式可得答案．
解答：解：（Ⅰ）依題意得，數(shù)列{p_n}是以為首項，以2為公比的等比數(shù)列，
所以=1（1分）
解得n=6．（3分）
所以可得X的分布列為：

X	1	2	3	4	5	6
P

所以EX=
=（4分）
所以2EX=（5分）
兩式相減得EX=（6分）
=，（7分）
所以隨機變量X的數(shù)學期望EX．
（Ⅱ）由（Ⅰ）中隨機變量X的分布列可得：
隨機抽取一次取得標簽的標號不大于3的概率為++（10分）
所以恰好2次取得標簽的標號小于3的概率為=（13分）
點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握離散型隨機變量的期望與方差，以及利用錯位相減法求數(shù)列的和．