Question

【題目】已知函數(shù)

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若，證明：

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見證明

【解析】

（1）先求得函數(shù)的定義域，然后利用函數(shù)的導數(shù)研究的單調(diào)區(qū)間.（2）將原不等式等價變形為，根據(jù)（1）中求得的單調(diào)性，只需證當時，，構造函數(shù)，利用導數(shù)證得，也即時，成立，由此證得原不等式成立.

解：（1）函數(shù)的定義域為，求導得，令，

令g’(x)＞0，解得-1＜x＜0，令g’(x)＜0解得x＞0，

所以單調(diào)增區(qū)間為減區(qū)間為。

g(x)＜g(0)=0，即f’(x)＜0在定義域上恒成立，

所以的單調(diào)減區(qū)間為 ；

（2）證明：將不等式變形為，因為，即不等式等價于，由（1）有所以在上單調(diào)遞減，所以要證原不等式成立，需證當x＞0時，x＜ex-1，令，則，可知h’(x)＞0在恒成立，即h(x)在上單調(diào)遞增，故h(x)>h(0)=0，即x＜ex-1，故f(x)＞f(ex-1)，即，即.