1.如圖,為保護(hù)河上古橋OA,規(guī)劃建一座新橋BC,同時(shí)設(shè)立一個(gè)圓形保護(hù)區(qū).規(guī)劃要求:新橋BC與河岸AB垂直;保護(hù)區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓,且古橋兩端O和A到該圓上任意一點(diǎn)的距離均不少于80m.經(jīng)測(cè)量,點(diǎn)A位于點(diǎn)O正北方向60m處,點(diǎn)C位于點(diǎn)O正東方向170m處(OC為河岸),tan∠BCO=$\frac{4}{3}$.
(1)求新橋BC的長(zhǎng);
(2)當(dāng)OM多長(zhǎng)時(shí),圓形保護(hù)區(qū)的面積最大?

分析 (1)在四邊形AOCB中,過(guò)B作BE⊥OC于E,過(guò)A作AF⊥BE于F,設(shè)出AF,然后通過(guò)解直角三角形列式求解BE,進(jìn)一步得到CE,然后由勾股定理得答案;
(2)設(shè)BC與⊙M切于Q,延長(zhǎng)QM、CO交于P,設(shè)OM=xm,把PC、PQ用含有x的代數(shù)式表示,再結(jié)合古橋兩端O和A到該圓上任意一點(diǎn)的距離均不少于80m列式求得x的范圍,得到x取最小值時(shí)圓的半徑最大,即圓形保護(hù)區(qū)的面積最大.

解答 解:(1)如圖,

過(guò)B作BE⊥OC于E,過(guò)A作AF⊥BE于F,
∵∠ABC=90°,∠BEC=90°,
∴∠ABF=∠BCE,
∴tan∠ABF=tan∠BCO=$\frac{4}{3}$.
設(shè)AF=4x(m),則BF=3x(m).
∵∠AOE=∠AFE=∠OEF=90°,
∴OE=AF=4x(m),EF=AO=60(m),
∴BE=(3x+60)m.
∵tan∠BCO=$\frac{4}{3}$,
∴CE=$\frac{3}{4}$BE=($\frac{9}{4}$x+45)(m).
∴OC=(4x+$\frac{9}{4}$x+45(m).
∴4x+$\frac{9}{4}$x+45=170,
解得:x=20.
∴BE=120m,CE=90m,
則BC=150m;
(2)如圖,

設(shè)BC與⊙M切于Q,延長(zhǎng)QM、CO交于P,
∵∠POM=∠PQC=90°,
∴∠PMO=∠BCO.
設(shè)OM=xm,則OP=$\frac{4}{3}$xm,PM=$\frac{5}{3}$xm.
∴PC=($\frac{4}{3}$x+170)m,PQ=($\frac{16}{15}$x+136)m.
設(shè)⊙M半徑為R,
∴R=MQ=($\frac{16}{15}$x+136-$\frac{5}{3}$x)m=(136-$\frac{3}{5}$x)m.
∵A、O到⊙M上任一點(diǎn)距離不少于80m,
則R-AM≥80,R-OM≥80,
∴136-$\frac{3}{5}$-(60-x)≥80,136-$\frac{3}{5}$-x≥80.
解得:10≤x≤35.
∴當(dāng)且僅當(dāng)x=10時(shí)R取到最大值.
∴OM=10m時(shí),保護(hù)區(qū)面積最大.

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的切線,考查了直線與圓的位置關(guān)系,解答的關(guān)鍵在于對(duì)題意的理解,是中檔題.

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