【題目】已知過(guò)橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)與坐標(biāo)軸垂直的四條直線圍成的矩形是第一象限內(nèi)的點(diǎn))的面積為,且過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)的傾斜角為的直線過(guò)點(diǎn)

1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

2)若射線與橢圓的交點(diǎn)分別為.當(dāng)它們的斜率之積為時(shí),試問(wèn)的面積是否為定值?若為定值,求出此定值;若不為定值,說(shuō)明理由.

【答案】1;(2的面積為定值

【解析】

1)根據(jù)矩形面積、直線斜率和橢圓關(guān)系可構(gòu)造方程組求得,進(jìn)而得到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程;

2)當(dāng)直線斜率存在時(shí),設(shè)方程為,與橢圓方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理的形式,利用弦長(zhǎng)公式求得,點(diǎn)到直線公式求得點(diǎn)到直線距離,進(jìn)而表示出;根據(jù),代入韋達(dá)定理形式化簡(jiǎn)可得,代入中化簡(jiǎn)得到;當(dāng)直線斜率不存在時(shí),可求得兩點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而求得;綜合兩種情況可知為定值.

1)由題意得:,,,.

直線的斜率,,

得:,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

2的面積為定值,理由如下:

設(shè),

①當(dāng)直線斜率存在時(shí),設(shè)方程為.

得:

,即,

,,

,

又點(diǎn)到直線的距離,

.

,,

化簡(jiǎn)可得:,滿足,

②當(dāng)直線斜率不存在時(shí),

可設(shè),

則點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,,

此時(shí)

綜上所述:的面積為定值.

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A.B.C.D.

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