已知曲線C:4x2-y|y|=1.

(1)若直線l:y=2x+m與曲線C只有一個公共點,求實數(shù)m的取值范圍;

(2)若直線l:y=kx+1與曲線C恒有兩個不同的交點A和B,且·(其中O為原點),求實數(shù)k的取值范圍.

解:(1)曲線為雙曲線4x2-y2=1的上半部分(含與x軸交點)和橢圓4x2+y2=1的下半部分構成,圖象如圖所示,

雙曲線漸近線為y=±2x,直線y=2x+m與雙曲線的一條漸近線平行?,

聯(lián)立得4mx+m2+1=0,可得m≠0時,直線與完整的雙曲線只能有一個交點;

聯(lián)立得8x2+4mx+m2-1=0,由Δ=0解得m=-2時直線與橢圓下半部分相切;

綜上可得:當m≥1時,直線與雙曲線有一個交點;當0≤m<1時,直線只與橢圓有一個交點;

當-1<m<0時,直線與雙曲線和橢圓各有一個交點;當-<m≤-1時,直線與橢圓有兩個交點;

當m=-時,直線只與橢圓有一個交點.所以實數(shù)m的取值范圍為m=-或m≥0.

(2)直線l:y=kx+1與曲線C恒有兩個不同的交點A和B,由題可得只能交雙曲線上半部分于A和B兩點.

聯(lián)立l:y=kx+1與4x2-y2=1可得(4-k2)x2-2kx-2=0,設A(x1,y1),B(x2,y2),由題可得-2<k<2,

又y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1=1,由·可得x1x2+y1y2,解得k2>1,所以-2<k<-1或1<k<2.

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