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已知：
a
=(sinx+cosx，
3
(sinx-cosx))，
b
=(sinx+cosx，sinx+cosx)，函數f(x)=
a
•
b

（I）把f（x）化為Asin（?x+φ）+b的形式；
（II）求f（x）的最小正周期和單調遞增區(qū)間；
（Ⅲ）若f（α）=f（β），且α與β的終邊不共線，求sin（α+β）的值．
分析：（Ⅰ）由題意可得根據兩角差得正弦該生可得f(x)=2sin(2x-
π
3
)+1．
（Ⅱ）由（I）可得結合正弦函數的周期性與單調區(qū)間可得函數的周期與單調區(qū)間．
（Ⅲ）由題意可得：α-β=kπ或α+β=kπ+
5π
6
，k∈Z，由α與β的終邊不共線，可得α+β=kπ+
5π
6
，金額得到答案．
解答：解：（Ⅰ）由題意可得：
f(x)=(sinx+cosx)2+
3
(sin2x-cos2x)
=1+sin2x-
3
cos2x=2sin(2x-
π
3
)+1…（4分）
（Ⅱ）T=π…（5分）
由正弦函數的單調區(qū)間可得：2kπ-
π
2
≤2x-
π
3
≤2kπ+
π
2
kπ-
π
12
≤x≤kπ+
5π
12

所以單調遞增區(qū)間為[kπ-
π
12
，kπ+
5π
12
]，k∈Z．…（7分）
（Ⅲ）由2sin(2α-
π
3
)+1=2sin(2β-
π
3
)+1
得：2α-
π
3
=2β-
π
3
+2kπ或2α-
π
3
=2kπ+π-(2β-
π
3
)…（8分）
所以α-β=kπ或α+β=kπ+
5π
6
，k∈Z
因為α與β的終邊不共線，所以α+β=kπ+
5π
6

當k為偶數時，sin(α+β)=
1
2
；當k為奇數時，sin(α+β)=-
1
2
．…（10分）
點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握正弦函數的有關性質，以及平面向量的數量積運算．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinx，2
3
sinx)，
b
=(2cosx，sinx)，定義f(x)=
a•
b
- 
3
．
（1）求函數f（x）的單調遞減區(qū)間；
（2）若函數y=f（x+θ）（0＜θ＜π）為偶函數，求θ的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinx，2cosx)，
b
=(5
3
cosx，sinx)，函數f(x)=
a
•
b
+|
a
|2+
3
2
.
（1）當x∈[
π
6
，
π
3
]時，求函數f（x）的值域；
（2）將函數y=f（x）的圖象向右平移
π
12
個單位后，再將所得圖象上各點向下平移5個單位，得到函數y=g（x）的圖象，求函數g（x）的圖象與直線x=
π
6
，x=
π
2
以及x軸所圍成的封閉圖形的面積．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinx，
3
2
)，
b
=(cosx，-1)，函數f(x)=(
a
+
b
)•
b
，x∈R
（1）求函數f（x）的最小正周期，最大值和最小值；
（2）求函數f（x）的單調遞增區(qū)間．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•湖南模擬）已知向量
a
=(sinx，2co
s
2
 
x)，
b
=(2
3
cosx，-1)，函數f(x)=
a
•
b
+1．
（1）求函數f（x）的最小正周期和單調遞增區(qū)間；
（2）將函數y=f（x）的圖象上所有點的縱坐標保持不變，橫坐標縮短到原來的
1
2
倍；再把所得到的圖象向左平移
π
6
個單位長度，得到函數y=g（x）的圖象，求函數y=g（x）在區(qū)間[-
π
6
，
π
12
]上的值域．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinx，cosx)，
b
=(1，2)，且
a
∥
b
，則tanx=（　�。�

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