Question

已知函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=1+2^x，
（1）求其在R上的解析式；
（2）畫(huà)出函數(shù)f（x）的圖象，并根據(jù)圖象寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）要求函數(shù)的解析式，已知已有x＞0時(shí)的函數(shù)解析式，只要根據(jù)題意求出x＜0及x=0時(shí)的即可，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)容易得f（0）=0，而x＜0時(shí)，由-x＞0及f（-x）=-f（x）可求；
（2）由（1）所得的函數(shù)解析式，根據(jù)分段函數(shù)圖象的畫(huà)法，畫(huà)出對(duì)應(yīng)圖象，并根據(jù)圖象寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答：解：（1）設(shè)x＞0則-x＜0
∵當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=1+2^x，
∴f（-x）=1+2^-x，
由函數(shù)f（x）為奇函數(shù)可得f（-x）=-f（x）
∴-f（x）=1+2^-x
即f（x）=-（1+2^-x），x＞0
∵f（0）=0
∴f（x）=

-(1+2-x)，x＞0 0，x=0 1+2x，x＜0

（2）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=

-(1+2-x)，x＞0 0，x=0 1+2x，x＜0

，圖象如圖：
故單調(diào)增區(qū)間為（-∞，0）和（0，+∞）．注：沒(méi)畫(huà)漸近線(xiàn)的沒(méi)分

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用函數(shù)的奇偶性求解函數(shù)的解析式，以及分段函數(shù)的圖象和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．是對(duì)函數(shù)圖象的綜合考查，屬于基礎(chǔ)題目．解題中要注意函數(shù)的定義域是R，不用漏掉對(duì)x=0時(shí)的考慮．