Question

如圖，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

2

=1(a＞

2

)的左右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，點(diǎn)B為橢圓與y軸的正半軸的交點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限內(nèi)且在橢圓上，且PF₂與x軸垂直，

F1P

•

OP

=5．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)B關(guān)于直線l：y=-x+n的對(duì)稱點(diǎn)E（異于點(diǎn)B）在橢圓C上，求n的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)橢圓的方程和PF₂與x軸垂直表示出F₁和P的坐標(biāo)，利用F₁和P的坐標(biāo)及原點(diǎn)O的坐標(biāo)分別表示

F1P

和

OP

，然后利用平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則表示出

F1P

•

OP

，讓其值等于5，列出關(guān)于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，代入橢圓方程即可；
（2）根據(jù)橢圓方程求出B的坐標(biāo)，設(shè)E和B關(guān)于直線l對(duì)稱，則直線BE的斜率與直線l的斜率乘積為-1，根據(jù)直線l的斜率求出直線BE的斜率，根據(jù)B的坐標(biāo)和求出的斜率寫出直線BE的方程，把直線BE的方程與橢圓方程聯(lián)立即可求出直線BE與橢圓的另一交點(diǎn)E的坐標(biāo)，根據(jù)B和E的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出BE中點(diǎn)的坐標(biāo)，把中點(diǎn)坐標(biāo)代入直線l的方程，即可求出n的值．

解答：解：（1）根據(jù)橢圓方程得到F₁（-

a2-2

，0），P（

a2-2

，m），
把P的坐標(biāo)代入橢圓方程得：m²=

4

a2

，
則

F1P

•

OP

=2

a2-2

•

a2-2

+m²=2（a²-2）+

4

a2

=5，解得a²=4，
所以橢圓C方程為：

x2

4

+

y2

2

=1，
（2）由（1）求出的橢圓方程得：B（0，

2

）
BE⊥l，得BE方程的斜率為1，則直線BE的方程為y=x+

2

，
由

y=x+ 2 x2 4 + y2 2 =1

得x=0，或x=-

4 2

3

．
E(-

4 2

3

，-

2

3

)，∴BE中點(diǎn)為(-

2 2

3

，

2

3

)，
把BE的中點(diǎn)坐標(biāo)代入y=-x+n得：

2

3

=

2 2

3

+n，解得：n=-

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生掌握橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，會(huì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，厲害運(yùn)用平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則及中點(diǎn)坐標(biāo)公式化簡(jiǎn)求值，是一道綜合題．