Question

3．給出下列命題：
①命題“若方程ax²+x+1=0有兩個實數(shù)根，則a≤$\frac{1}{4}$”的逆命題是真命題；
②“函數(shù)f（x）=cos²ax-sin²ax的最小正周期為π”是“a=1”的必要不充分條件；
③函數(shù)f（x）=2^x-x²的零點個數(shù)為2；
④冪函數(shù)y=x^a（a∈R）的圖象恒過定點（0，0）
⑤“向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角是鈍角”的充分必要條件是“$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$＜0”；
⑥方程sinx=x有三個實根．
其中正確命題的序號為②．

Answer 1

分析 ①根據(jù)逆命題的定義結(jié)合方程根的關系進行判斷．
②根據(jù)三角函數(shù)的周期公式以及充分條件和必要條件的定義進行判斷．
③根據(jù)函數(shù)與方程的關系進行判斷．
④根據(jù)冪函數(shù)的定義和性質(zhì)進行判斷．
⑤根據(jù)向量夾角和數(shù)量積的關系進行判斷．
⑥構造函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可．

解答 解：①命題“若方程ax²+x+1=0有兩個實數(shù)根，則a≤$\frac{1}{4}$”的逆命題是若a≤$\frac{1}{4}$，則方程ax²+x+1=0有兩個實數(shù)根，
當a=0時，方程等價為x+1=0，則x=-1，此時方程只有一個根，故①錯誤；
②f（x）=cos²ax-sin²ax=cos2ax，
若“函數(shù)f（x）=cos²ax-sin²ax的最小正周期為π”，
則$\frac{2π}{2|a|}=π$，則|a|=1，則a=±1，
則充分性不成立，反之成立，
即“函數(shù)f（x）=cos²ax-sin²ax的最小正周期為π”是“a=1”的必要不充分條件正確，故②正確，
③由f（x）=2^x-x²=0得2^x=x²，
作出兩個函數(shù)y=2^x和y=x²的圖象如圖，由圖象知兩個函數(shù)交點個數(shù)為3個，故③錯誤；
④冪函數(shù)y=x^a（a∈R）的圖象恒過定點（0，0），錯誤，
當a＜0時，函數(shù)的圖象不過點（0，0），故④錯誤，
⑤“向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角是鈍角”的充分必要條件是“$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$＜0”且$\overrightarrow a$≠λ$\overrightarrow b$，λ＜0；故⑤錯誤，
⑥設f（x）=sinx-x，
則函數(shù)的導數(shù)f′（x）=cosx-1≤0，
則函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
∵f（0）=sin0-0=0，
∴f（x）=0的根只有一個0，解集方程sinx=x有一個實根．
故⑥錯誤，
故正確的是②，
故答案為：②

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及函數(shù)的性質(zhì)，充分條件和必要條件的判斷，涉及知識點較多，綜合性較強，有一定 的難度．