某個公園有個池塘,其形狀為直角△ABC,∠C=90°,AB=2百米,BC=1百米.
(1)現(xiàn)在準備養(yǎng)一批供游客觀賞的魚,分別在AB、BC、CA上取點D,E,F(xiàn),如圖(1),使得EF‖AB,EF⊥ED,在△DEF喂食,求△DEF 面積S△DEF的最大值;
(2)現(xiàn)在準備新建造一個荷塘,分別在AB,BC,CA上取點D,E,F(xiàn),如圖(2),建造△DEF連廊(不考慮寬度)供游客休憩,且使△DEF為正三角形,求△DEF邊長的最小值.
(1);(2)百米.
解析試題分析:(1)求△DEF 面積S△DEF的最大值,先把△DEF 面積用一個參數(shù)表示出來,由于它是直角三角形,故只要求出兩直角邊DE和EF,直角△ABC中,可得,由于EF‖AB,EF⊥ED,那么有,因此我們可用CE來表示FE,DE.從而把S△DEF表示為CE的函數(shù),然后利用函數(shù)的知識(或不等式知識)求出最大值;(2).等邊△DEF可由兩邊EF=ED及確定,我們設(shè),想辦法也把與一個參數(shù)建立關(guān)系式,關(guān)鍵是選取什么為參數(shù),由于等邊△DEF位置不確定,我們可選取為參數(shù),建立起與的關(guān)系.,則,中應用正弦定理可建立所需要的等量關(guān)系.
試題解析:(1)中,,百米,百米.
,可得,
,,
設(shè),則米,
中,米,C到EF的距離米,
∵C到AB的距離為米,
∴點D到EF的距離為米,
可得,
∵,當且僅當時等號成立,
∴當時,即E為AB中點時,的最大值為.7分
(2)設(shè)正的邊長為,,
則,
設(shè),可得
,,
∴.
在中,,
即,化簡得,12分
(其中是滿足的銳角),
∴邊長最小值為百米.14分
考點:(1)面積與基本不等式;(2)邊長與三角函數(shù)的最值.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
在△中,三個內(nèi)角,,的對邊分別為,,,=(b,a),=(cosB,sinA),且||(Ⅰ)求角;(Ⅱ)若,c=2a, 求△的面積.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
在中,,,分別是角,,的對邊,向量,,且//.
(Ⅰ)求角的大;
(Ⅱ)設(shè),且的最小正周期為,求在區(qū)間上的最大值和最小值.
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