【答案】
分析:(1)由直線與拋物線聯(lián)立方程組解得A(16,-8),B(0,0),由點(diǎn)斜式寫(xiě)出兩條直線l
1、l
2的方程,從而得出直線AB的斜率;
(2)推廣的評(píng)分要求分三層:
一層:點(diǎn)P到一般或斜率到一般,或拋物線到一般,例子:1、已知A、B是拋物線y
2=4x上的相異兩點(diǎn).設(shè)過(guò)點(diǎn)A且斜率為-1的直線l
1,與過(guò)點(diǎn)B且斜率為1的直線l
2相交于拋物線y
2=4x上的一定點(diǎn)P
,求直線AB的斜率等等;
二層:兩個(gè)一般或推廣到其它曲線;
三層:滿分(對(duì)拋物線,橢圓,雙曲線或?qū)λ袌A錐曲線成立的想法)
(3)點(diǎn)Q(x
,0),設(shè)A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),則y
i2=4x
i(i=1,2).設(shè)線段AB的中點(diǎn)是M(x
m,y
m),斜率為k,寫(xiě)出線段AB的垂直平分線l的方程,又點(diǎn)Q(5,0)在直線l上,求出x
m=3.最后利用0<y
m2<4x
m=12,即可求出中點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍.
解答:解:(理)(1)由
解得A(16,-8);由
解得B(0,0).
由點(diǎn)斜式寫(xiě)出兩條直線l
1、l
2的方程,l
1:x+y-8=0;l
2:x-y=0,所以直線AB的斜率為
. …(4分)
(2)推廣的評(píng)分要求分三層
一層:點(diǎn)P到一般或斜率到一般,或拋物線到一般((3分),問(wèn)題(1分)、解答2分)
例:1、已知A、B是拋物線y
2=4x上的相異兩點(diǎn).設(shè)過(guò)點(diǎn)A且斜率為-1的直線l
1,與過(guò)點(diǎn)B且斜率為1的直線l
2相交于拋物線
y
2=4x上的一定點(diǎn)P
,求直線AB的斜率;
2、已知A、B是拋物線y
2=4x上的相異兩點(diǎn).設(shè)過(guò)點(diǎn)A且斜率為-k 1的直線l
1,與過(guò)點(diǎn)B且斜率為k的直線l
2相交于拋物線
y
2=4x上的一點(diǎn)P(4,4),求直線AB的斜率;
3、已知A、B是拋物線y
2=2px(p>0)上的相異兩點(diǎn).設(shè)過(guò)點(diǎn)A且斜率為-1的直線l
1,與過(guò)點(diǎn)B且斜率為1的直線l
2相交于拋物線y
2=2px(p>0)上的一定點(diǎn)P
,求直線AB的斜率; AB的斜率的值.
二層:兩個(gè)一般或推廣到其它曲線((4分),問(wèn)題與解答各占2分)
例:4.已知點(diǎn)Ρ是拋物線y
2=4x上的定點(diǎn).過(guò)點(diǎn)P作斜率分別為k、-k的兩條直線l
1、l
2,分別交拋物線于A、B兩點(diǎn),試計(jì)算直線AB的斜率.
三層:滿分(對(duì)拋物線,橢圓,雙曲線或?qū)λ袌A錐曲線成立的想法.)((7分),問(wèn)題(3分)、解答4分)
例如:5.已知拋物線y
2=2px上有一定點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作斜率分別為k、-k的兩條直線l
1、l
2,分別交拋物線于A、B兩點(diǎn),試計(jì)算直線AB的斜率.
過(guò)點(diǎn)P(x
,y
),斜率互為相反數(shù)的直線可設(shè)為y=k(x-x
)+y
,y=k(x-x
)+y
,其中y
2=2px
.
由
得ky
2-2py+2py
-ky
2=0,所以
同理,把上式中k換成-k得
,所以
當(dāng)P為原點(diǎn)時(shí)直線AB的斜率不存在,當(dāng)P不為原點(diǎn)時(shí)直線AB的斜率為
.
(3)點(diǎn)Q(x
,0),設(shè)A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),則y
i2=4x
i(i=1,2).
設(shè)線段AB的中點(diǎn)是M(x
m,y
m),斜率為k,則
=
.(12分)
所以線段AB的垂直平分線l的方程為
,
又點(diǎn)Q(5,0)在直線l上,所以
,
而y
m≠0,于是x
m=3. …(13分)
(斜率
,
,則x
m=3 (13分)
線段AB所在直線的方程為
,…(14分)
代入y
2=4x,整理得4x
2-24x+y
m4-12y
m2+36=0…(15分)x
1+x
2=6,
.
設(shè)AB線段長(zhǎng)為l,則
=(4+y
m2)(-y
m2+12)=-y
m4+8y
m2+48…(16分)
因?yàn)?<y
m2<4x
m=12,所以
…(18分)
即:
.(
).
點(diǎn)評(píng):本小題主要考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)、直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于基礎(chǔ)題.