Question

12．已知函數f（x）=$\frac{1}{3}$x³-ax²+（a²-1）x+b（a，b∈R）
（1）若x=1為f（x）的極值點，求a的值；
（2）若y=f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程為x+y-3=0，求f（x）在區(qū)間[-2，4]上的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）求出導數，結合已知條件求出f′（1）=0，即可求出a的值；
（2）由切點求出f（1）=2，即${a}^{2}-a+b-\frac{8}{3}=0$，由切線方程的斜率為-1，得f′（1）=-1，即a²-2a+1=0，可求出a，b的值，代入已知函數求導，可得x=0和x=2是y=f（x）的兩個極值點，計算即可得到y(tǒng)=f（x）在區(qū)間[-2，4]上的最大值為與最小值．

解答 解：（1）∵f′（x）=x²-2ax+（a²-1），
又x=1為f（x）的極值點，∴f′（1）=0，即a²-2a=0．
∴a=0或2；
（2）∵（1，f（1））是切點，∴1+f（1）-3=0．∴f（1）=2．
即${a}^{2}-a+b-\frac{8}{3}=0$．
∵切線方程x+y-3=0的斜率為-1，
∴f′（1）=-1，即a²-2a+1=0，
得a=1，$b=\frac{8}{3}$．
∵$f（x）=\frac{1}{3}{x}^{3}-{x}^{2}+\frac{8}{3}$，
∴f′（x）=x²-2x，可知x=0和x=2是y=f（x）的兩個極值點．
∵$f（0）=\frac{8}{3}$，$f（2）=\frac{4}{3}$，f（-2）=-4，f（4）=8．
∴y=f（x）在區(qū)間[-2，4]，上的最大值為8．最小值為-4．

點評 本題考查導數的綜合應用：求切線方程和求極值，考查運算能力，屬于中檔題．