7.設(shè)函數(shù)f(x)=kx2-kx,g(x)=$\left\{\begin{array}{l}lnx,x≥1\\-{x^3}+({a+1}){x^2}-ax,0<x<1\end{array}$,若使得不等式f(x)≥g(x)對(duì)一切正實(shí)數(shù)x恒成立的實(shí)數(shù)k存在且唯一,則實(shí)數(shù)a的值為2.

分析 根據(jù)題意:g(x)=lnx(x≥1),圖象過(guò)(1,0),所以二次函數(shù)圖象過(guò)(1,0),即k=1,可得函數(shù)f(x)=x2-x,當(dāng)0<x<1時(shí),要使f(x)對(duì)一切正實(shí)數(shù)x恒成立,即x2-x≥-x3+(a+1)x2-ax.利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

解答 解:由題意:函數(shù)f(x)=kx2-kx,g(x)=$\left\{\begin{array}{l}lnx,x≥1\\-{x^3}+({a+1}){x^2}-ax,0<x<1\end{array}$,
當(dāng)g(x)=lnx(x≥1),圖象過(guò)(1,0),使得不等式f(x)≥g(x)對(duì)一切正實(shí)數(shù)x恒成立的實(shí)數(shù)k存在且唯一,即kx2-kx-lnx≥0,令m(x)=kx2-kx-lnx≥0
則m′(x)=2kx-k-$\frac{1}{x}$≥0.
實(shí)數(shù)k存在且唯一,當(dāng)x=1時(shí),解得k=1.
即k=1.可得函數(shù)f(x)=x2-x.
當(dāng)0<x<1時(shí),要使f(x)≥g(x)對(duì)一切正實(shí)數(shù)x恒成立,即x2-x≥-x3+(a+1)x2-ax.
令h(x)=x2-ax+a-1≥0,
∵對(duì)一切正實(shí)數(shù)x恒成立且唯一,
∴△=a2-4(a-1)=0,
解得:a=2.
故答案為:2.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)的值域來(lái)求解恒成立問(wèn)題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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17.2016年巴西奧運(yùn)會(huì)的周邊商品有80%左右為“中國(guó)制造”,所有的廠家都是經(jīng)過(guò)層層篩選才能獲此殊榮.甲、乙兩廠生產(chǎn)同一產(chǎn)品,為了解甲、乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量,以確定這一產(chǎn)品最終的供貨商,采用分層抽樣的方法從甲、乙兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品共98件中分別抽取9件和5件,測(cè)量產(chǎn)品中的微量元素的含量(單位:毫克).下表是從乙廠抽取的5件產(chǎn)品的測(cè)量數(shù)據(jù):
編號(hào)12345
x169178166175180
y7580777081
(1)求乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量:
(2)當(dāng)產(chǎn)品中的微量元素x、y滿足:x≥175,且y≥75時(shí),該產(chǎn)品為優(yōu)等品.用上述樣本數(shù)據(jù)估計(jì)乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量:
(3)從乙廠抽出的上述5件產(chǎn)品中,隨機(jī)抽取2件,求抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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18.若tanβ=2tanα,且cosαsinβ=$\frac{2}{3}$,則sin(α-β)的值為-$\frac{1}{3}$.

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15.設(shè)函數(shù)y=sin(?x+$\frac{π}{3}$)(0<x<π),當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{π}{6}$時(shí),y取得最大值,則正數(shù)?的值為1.

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2.若函數(shù)f(x)=$\frac{1}{3}$x3+x2-ax+3a在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,3].

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

12.若集合A={x|0<x<2},且A∩B=B,則集合B可能是(  )
A.{0,2}B.{0,1}C.{0,1,2}D.{1}

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19.某班50名學(xué)生在一次百米測(cè)試中,成績(jī)?nèi)拷橛?3秒與18秒之間,將測(cè)試結(jié)果按如下方式分成五組:第一組[13,14),第二組[14,15),…,第五組[17,18],如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.
(1)根據(jù)頻率分布直方圖,估計(jì)這50名學(xué)生百米測(cè)試成績(jī)的平均值;
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16.F(x)=(x3-2x)f(x)(x≠0)是奇函數(shù),且f(x)不恒等于零,則f(x)為( 。
A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.奇函數(shù)或偶函數(shù)D.非奇非偶函數(shù)

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4.已知集合A={1,2,3},B={x|x<a),若A⊆B,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( 。
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