Question

數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為Sn=n2+2n，等比數(shù)列{b_n}各項(xiàng)為正數(shù)，且b₁=1，{ban}是公比為64的等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）證明：

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

3

4

．

Answer 1

（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=3，
n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=(n2+2n)-{(n-1)2+2(n-1)}=2n+1
經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)n=1時(shí)，上式也適合，故a_n=2n+1．
設(shè){b_n}公比為q，則

ba2

ba1

=

b5

b3

=q2=64，
因?yàn)閧b_n}各項(xiàng)為正數(shù)所以q=8，∴bn=8n-1，
故數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式分別為：a_n=2n+1，bn=8n-1
（2）由題意可知

1

Sn

=

1

n2+2n

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)
∴

1

S1

+

1

S2

+…

1

Sn

=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

)
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)=

3

4

-

1

2

(

1

n+1

+

1

n+2

)＜

3

4

故原不等式得證．