【題目】在三棱錐A﹣BCD中,△ABC和△ABD都是以AB為斜邊的直角三角形,AB⊥CD,AB=10,CD=6.
(1)問在AB上是否存在點(diǎn)E,使得AB⊥平面ECD?
(2)如果S△ABC=S△ABD=30,求二面角C﹣AB﹣D的大。
(3)求三棱錐A﹣BCD體積的最大值.
【答案】(1)見解析;(2)60°;(3)40
【解析】
(1)利用線面垂直的判定方法可得;
(2)根據(jù)兩個(gè)三角形面積相等可得DE,CE的長度,從而可得二面角;
(3)求出三棱錐A﹣BCD體積的表達(dá)式,利用二次函數(shù)知識可得.
(1)假設(shè)在AB上存在點(diǎn)E,使得AB⊥平面ECD,
∵在三棱錐A﹣BCD中,△ABC和△ABD都是以AB為斜邊的直角三角形,
AB⊥CD,AB=10,CD=6.作CE⊥AB,交AB于E,連結(jié)DE,
又CE∩CD=C,∴AB⊥平面ECD.
(2)由(1)知AB⊥平面CDE,故AB⊥DE,AB⊥CE,∴CED為二面角C﹣AB﹣D的平面角,
∵AB=10, S△ABC=S△ABD=30,∴,
解得DE=CE=6,又CD=6,∴△CDE是等邊三角形,∴∠CED=60°,
即二面角C﹣AB﹣D的大小為60°.
(3)由(1)知AB⊥平面CDE,故VA﹣BCD=S△CDEAB=S△CDE,
∵△ABD和△ABC都是以AB為斜邊的直角三角形,且由(1)知AB⊥平面CDE,
∴CE=DE,設(shè)CE=DE=m,則E到CD的距離d=,∴S△CDE=,
∵△ABD是直角三角形,∴D在以AB為直徑的圓上,故DE的最大值為AB=5,
即0<m≤5,∴S△CDE的最大值為12,
∴三棱錐A﹣BCD體積的最大值為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】中國海軍,正在以不可阻擋的氣魄向深藍(lán)進(jìn)軍.在中國海軍加快建設(shè)的大背景下,國產(chǎn)水面艦艇噸位不斷增大、技術(shù)日益現(xiàn)代化,特別是國產(chǎn)航空母艦下水,航母需要大量高素質(zhì)航母艦載機(jī)飛行員.為此中國海軍在全國9省9所優(yōu)質(zhì)普通高中進(jìn)行海航班建設(shè)試點(diǎn)培育航母艦載機(jī)飛行員.2017年4月我省首屆海軍航空實(shí)驗(yàn)班開始面向全省遴選學(xué)員,有10000名初中畢業(yè)生踴躍報(bào)名投身國防,經(jīng)過文化考試、體格測試、政治考核、心理選拔等過程篩選,最終招收50名學(xué)員.培養(yǎng)學(xué)校在關(guān)注學(xué)員的文化素養(yǎng)同時(shí)注重學(xué)員的身體素質(zhì),要求每月至少參加一次野營拉練活動(下面簡稱“活動”),這批海航班學(xué)員在10月參加活動的次數(shù)統(tǒng)計(jì)如圖所示:
(1)從海航班學(xué)員中任選2名學(xué)員,求他們10月參加活動次數(shù)恰好相等的概率;
(2)從海航班學(xué)員中任選2名學(xué)員,用表示這兩學(xué)員10月參加活動次數(shù)之差絕對值,求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》中盈不足章中有這樣一則故事:“今有良馬與駑馬發(fā)長安,至齊. 齊去長安三千里. 良馬初日行一百九十三里,日增一十二里;駑馬初日行九十七里,日減二里.” 為了計(jì)算每天良馬和駑馬所走的路程之和,設(shè)計(jì)框圖如下圖. 若輸出的 的值為 360,則判斷框中可以填( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),對稱軸為x軸,拋物線C過點(diǎn)A(4,4),過拋物線C的焦點(diǎn)F作傾斜角等于45°的直線l,直線l交拋物線C于M、N兩點(diǎn).
(1)求拋物線C的方程;
(2)求線段MN的長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn),且的相鄰兩個(gè)零點(diǎn)的距離為,為得到的圖像,可將圖像上所有點(diǎn)( )
A.先向右平移個(gè)單位,再將所得圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的,縱坐標(biāo)不變
B.先向左平移個(gè)單位,再將所得圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的,縱坐標(biāo)不變
C.先向左平移個(gè)單位,再將所得圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍,縱坐標(biāo)不變
D.先向右平移個(gè)單位,再將所得圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍,縱坐標(biāo)不變
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校為了了解學(xué)生使用手機(jī)的情況,分別在高一和高二兩個(gè)年級各隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生日均使用手機(jī)時(shí)間的頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖,將使用手機(jī)時(shí)間不低于80分鐘的學(xué)生稱為“手機(jī)迷”.
高一學(xué)生日均使用手機(jī)時(shí)間的頻數(shù)分布表
時(shí)間分組 | 頻數(shù) |
[0,20) | 12 |
[20,40) | 20 |
[40,60) | 24 |
[60,80) | 18 |
[80,100) | 22 |
[100,120] | 4 |
(1)將頻率視為概率,估計(jì)哪個(gè)年級的學(xué)生是“手機(jī)迷”的概率大?請說明理由.
(2)在高二的抽查中,已知隨機(jī)抽到的女生共有55名,其中10名為“手機(jī)迷”.根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表,并據(jù)此資料你有多大的把握認(rèn)為“手機(jī)迷”與性別有關(guān)?
非手機(jī)迷 | 手機(jī)迷 | 合計(jì) | |
男 | |||
女 | |||
合計(jì) |
附:隨機(jī)變量(其中為樣本總量).
參考數(shù)據(jù) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在四棱錐 P - ABCD 中,銳角三角形 PAD 所在平面垂直于平面 PAB,AB⊥AD,AB⊥BC。
(1) 求證:BC∥平面 PAD;
(2) 平面 PAD⊥ 平面 ABCD.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x),k≠0,k∈R.
(1)討論函數(shù)f(x)的奇偶性,并說明理由;
(2)已知f(x)在(﹣∞,0]上單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)等差數(shù)列的公差為,前項(xiàng)和為,記,則數(shù)列的前項(xiàng)和是( )
A. B. C. D.
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