【題目】已知a∈R,函數(shù)f(x)=x2﹣2ax+5.
(1)若a>1,且函數(shù)f(x)的定義域和值域均為[1,a],求實(shí)數(shù)a的值;
(2)若不等式x|f(x)﹣x2|1對(duì)x∈[,]恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)2;(2).
【解析】
(1)根據(jù)f(x)的圖象開(kāi)口向上,對(duì)稱軸為x=a>1,知f(x)在[1,a]上單調(diào)遞減,所以f(1)=a求解即可.
(2)將不等式x|f(x)﹣x2|1對(duì)x∈[,]恒成立,去絕對(duì)值轉(zhuǎn)化為a且a在x∈[,]恒成立,分別令g(x),x∈[,],用二次函數(shù)求其最大值,令h(x),x∈[,],求其最小值即可.
(1)∵f(x)的圖象開(kāi)口向上,對(duì)稱軸為x=a>1,
∴f(x)在[1,a]上單調(diào)遞減,
∴f(1)=a,即6﹣2a=a,解得a=2..
(2)不等式x|f(x)﹣x2|1對(duì)x∈[,]恒成立,
即x|2ax﹣5|1對(duì)x∈[,]恒成立,
故a且a在x∈[,]恒成立,
令g(x),x∈[,],
所以g(x)max=g(),
所以.
令h(x),x∈[,],
所以h(x)min=h()=7,
所以.
綜上:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)若曲線與在點(diǎn)處有相同的切線,求函數(shù)的極值;
(2)若,討論函數(shù)的單調(diào)性.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù) (其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),k∈R).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí),證明: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在正方形中,,分別為棱和棱的中點(diǎn),則下列說(shuō)法正確的是( )
A.∥平面B.平面截正方體所得截面為等腰梯形
C.平面D.異面直線與所成的角為60°
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】推進(jìn)垃圾分類處理,是落實(shí)綠色發(fā)展理念的必然選擇,也是打贏污染防治攻堅(jiān)戰(zhàn)的重要環(huán)節(jié).為了解居民對(duì)垃圾分類的了解程度某社區(qū)居委會(huì)隨機(jī)抽取1000名社區(qū)居民參與問(wèn)卷測(cè)試,并將問(wèn)卷得分繪制頻率分布表如表:
得分 | [30,40) | [40,50) | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100] |
男性人數(shù) | 40 | 90 | 120 | 130 | 110 | 60 | 30 |
女性人數(shù) | 20 | 50 | 80 | 110 | 100 | 40 | 20 |
(1)從該社區(qū)隨機(jī)抽取一名居民參與問(wèn)卷測(cè)試試估計(jì)其得分不低于60分的概率:
(2)將居民對(duì)垃圾分類的了解程度分為“比較了解”(得分不低于60分)和“不太了解”(得分低于60)兩類,完成2×2列聯(lián)表,并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“居民對(duì)垃圾分類的了解程度”與“性別”有關(guān)?
不太了解 | 比較了解 | 合計(jì) | |
男性 | |||
女性 | |||
合計(jì) |
(3)從參與問(wèn)卷測(cè)試且得分不低于80分的居民中,按照性別進(jìn)行分層抽樣,共抽取10人,現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人作為環(huán)保宣傳隊(duì)長(zhǎng),設(shè)3人中男性隊(duì)長(zhǎng)的人數(shù)為,求的分布列和期望.
附:.
臨界值表:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列是合情推理的是( )
①由正三角形的性質(zhì)類比出正三棱錐的有關(guān)性質(zhì);
②由正方形矩形的內(nèi)角和是,歸納出所有四邊形的內(nèi)角和都是;
③三角形內(nèi)角和是,四邊形內(nèi)角和是,五邊形內(nèi)角和是,由此得出凸邊形內(nèi)角和是;
④小李某次數(shù)學(xué)考試成績(jī)是90分,由此推出小李的全班同學(xué)這次數(shù)學(xué)考試的成績(jī)都是90分.
A.①②B.①②③C.①②④D.②③④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在如圖所示的多面體ABCDE中,已知ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,平面ABCD⊥平面ABE,∠AEB=90°,AE=BE.
(1)若M是DE的中點(diǎn),試在AC上找一點(diǎn)N,使得MN∥平面ABE,并給出證明;
(2)求多面體ABCDE的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù) (為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)且時(shí),在上為減函數(shù),求實(shí)數(shù)的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,且橢圓上一點(diǎn)與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形周長(zhǎng)為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線與橢圓交于,兩點(diǎn),且以為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn),求面積的最大值.
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