Question

現(xiàn)有A，B兩個(gè)投資項(xiàng)目，投資兩項(xiàng)目所獲得利潤(rùn)分別是P和Q（萬(wàn)元），它們與投入資金x（萬(wàn)元）的關(guān)系依次是：其中P與x平方根成正比，且當(dāng)x為4（萬(wàn)元）時(shí)P為1（萬(wàn)元），又Q與x成正比，當(dāng)x為4（萬(wàn)元）時(shí)Q也是1（萬(wàn)元）；某人甲有3萬(wàn)元資金投資．
（Ⅰ）分別求出P，Q與x的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）請(qǐng)幫甲設(shè)計(jì)一個(gè)合理的投資方案，使其獲利最大，并求出最大利潤(rùn)是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（I）設(shè)P，Q與x的比例系數(shù)分別是k₁，k₂，則P=k1

x

，Q=k₂x，根據(jù)當(dāng)x為4（萬(wàn)元）時(shí)，P、Q為1（萬(wàn)元），可求出P，Q與x的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）甲投資到A，B兩項(xiàng)目的資金分別為x（萬(wàn)元），（3-x）（萬(wàn)元）（0≤x≤3），獲得利潤(rùn)為y萬(wàn)元，根據(jù)（I）可得利潤(rùn)函數(shù)，利用配方法可求最大利潤(rùn)．

解答： 解：（I）設(shè)P，Q與x的比例系數(shù)分別是k₁，k₂，則P=k1

x

，Q=k₂x且都過（4，1）…（1分）
所以：P=

x

2

(x≥0)…（2分），Q=

x

4

(x≥0)…（2分）
（Ⅱ）設(shè)甲投資到A，B兩項(xiàng)目的資金分別為x（萬(wàn)元），（3-x）（萬(wàn)元）（0≤x≤3），獲得利潤(rùn)為y萬(wàn)元…（1分）
由題意知：y=

x

2

+

3-x

4

=-

1

4

(

x

-1)2+1…（1分）
所以當(dāng)

x

=1，即x=1時(shí)，y_max=1…（2分）
答：甲在A，B兩項(xiàng)上分別投入為1萬(wàn)元和2萬(wàn)元，此時(shí)利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為1萬(wàn)元..（1分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確確定函數(shù)解析式是關(guān)鍵．