Question

已知數(shù)列{a_n}中，an=2-

1

an-1

（n≥2，n∈N₊），
（1）若a1=

3

5

，數(shù)列{b_n}滿足bn=

1

an-1

（n∈N₊），求證數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（2）若a1=

3

5

，求數(shù)列{a_n}中的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)，并說明理由；
（3）若1＜a₁＜2，試證明：1＜a_n+1＜a_n＜2．

Answer 1

分析：（1）要證明數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，只需證明它的后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差為非零常數(shù)即可，先根據(jù)數(shù)列{a_n}的遞推公式推出數(shù)列{b_n}的遞推公式，即可證明．
（2）由（1）可得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，再由bn=

1

an-1

，可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，判斷數(shù)列{a_n}對(duì)應(yīng)連續(xù)函數(shù)得單調(diào)性，得到數(shù)列的單調(diào)性，進(jìn)而可得數(shù)列的最值；
（3）先用數(shù)學(xué)歸納法證明1＜a_n＜2，注意遞推式an=2-

1

an-1

的使用，再證明數(shù)列是遞減數(shù)列，利用a_n+1-a_n＜0，不等式可證．

解答：解：（1）bn=

1

an-1

=

1

2- 1 an-1 -1

=

an-1

an-1-1

，而bn-1=

1

an-1-1

，
∴bn-bn-1=

an-1

an-1-1

-

1

an-1-1

=1．（n∈N⁺）
∴{b_n}是首項(xiàng)為b1=

1

a1-1

=-

5

2

，公差為1的等差數(shù)列．
（2）依題意有an-1=

1

bn

，而bn=-

5

2

+(n-1)•1=n-3.5，
∴an-1=

1

n-3.5

．對(duì)于函數(shù)y=

1

x-3.5

，
在x＞3.5時(shí)，y＞0，y′=-

1

(x-3.5)2

＜0，
在（3.5，+∞）上為減函數(shù)．且y＞0，故當(dāng)n=4時(shí)，an=1+

1

n-3.5

取最大值3．
而函數(shù)y=

1

x-3.5

在x＜3.5時(shí)，y＜0，y′=-

1

(x-3.5)2

＜0，
在（-∞，3.5）上也為減函數(shù)．且y＜0，故當(dāng)n=3時(shí)，取最小值，a₃=-1．
∴數(shù)列{a_n}中的最大項(xiàng)是a₄=3；最小項(xiàng)是a₃=-1
（3）先用數(shù)學(xué)歸納法證明1＜a_n＜2，再證明a_n+1＜a_n．①當(dāng)n=1時(shí)，1＜a₁＜2成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即1＜a_k＜2，
當(dāng)n=k+1時(shí)，

1

2

＜

1

ak

＜1?ak+1=2-

1

ak

∈(1，

3

2

)?1＜a_k+1＜2故當(dāng)n=k+1時(shí)也成立，
綜合①②有，命題對(duì)任意n∈N₊時(shí)成立，即1＜a_n＜2．
（也可設(shè)f(x)=2-

1

x

（1≤x≤2），則f′(x)=

1

x2

＞0，
故1=f（1）＜ak+1=f(ak)＜f(2)=

3

2

＜2）．
進(jìn)而證明a_n+1＜a_n
∵an+1-an=2-(an+

1

an

)＜2-2

an• 1 an

=0
∴a_n+1＜a_n

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了等差數(shù)列的證明、數(shù)列的最值及數(shù)列與不等式證明，重點(diǎn)考查了數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)，解題時(shí)要認(rèn)真體會(huì)，準(zhǔn)確作答．