Question

【題目】

如圖，曲線由曲線和曲線組成，其中點(diǎn)為曲線所在圓錐曲線的焦點(diǎn)，點(diǎn)為曲線所在圓錐曲線的焦點(diǎn)；

（1）若，求曲線的方程；

（2）對(duì)于（1）中的曲線，若過(guò)點(diǎn)作直線平行于曲線的漸近線，交曲線于點(diǎn)A、B，求三角形的面積；

（3）如圖，若直線（不一定過(guò)）平行于曲線的漸近線，交曲線于點(diǎn)A、B，求證：弦AB的中點(diǎn)M必在曲線的另一條漸近線上．

Answer 1

【答案】（1）和；（2）（3）證明見(jiàn)解析；．

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法求解；（2）寫出直線方程，與曲線方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離公式求弦長(zhǎng)與高，再求三角形的面積；（3）寫出漸近線的方程與直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式寫出中點(diǎn)坐標(biāo)，再驗(yàn)證中點(diǎn)在另外一條漸近線上.

試題解析：

（1）

則曲線的方程為和．

（2），曲線的漸近線

設(shè)，

（3）曲線的漸近線為

如圖，設(shè)直線

則

又由數(shù)形結(jié)合知，

設(shè)點(diǎn)，

則，

，

，即點(diǎn)M在直線上．