Question

如圖，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦點為F₁（1，0）、F₂（-1，0），離心率為

2

2

，過點A（2，0）的直線l交橢圓C于M、N兩點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）①求直線l的斜率k的取值范圍；
②在直線l的斜率k不斷變化過程中，探究∠MF₁A和∠NF₁F₂是否總相等？若相等，請給出證明，若不相等，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由焦點坐標(biāo)及離心率可得c=1，

c

a

=

2

2

，再根據(jù)b²=a²-c²即可求得a，b，c；
（2）①設(shè)直線l的方程為y=k（x-2），與橢圓方程聯(lián)立方程組，消掉y，由線l交橢圓C于M、N兩點可得△＞0，解出即得k的范圍．②設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），tan∠MF₁A-tan∠NF₁F₂=kMF1+kNF1=

y1

x1-1

+

y2

x2-1

，通分然后利用韋達(dá)定理可證tan∠MF₁A-tan∠NF₁F₂=0，即tan∠MF₁A=tan∠NF₁F₂，再由兩角范圍即可證明兩角相等；

解答：解：（1）由已知條件知，c=1，

c

a

=

2

2

，解得a=

2

，
又b²=a²-c²=1，
所以橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1；
（2）設(shè)直線l的方程為y=k（x-2），
聯(lián)立

y=k(x-2) x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²=2=0，①
由于直線l與橢圓C相交，
所以△=64k⁴-4（1+2k²）（8k²-2）＞0，
解得直線l的斜率k的取值范圍是-

2

2

＜k＜

2

2

；
②∠MF₁A和∠NF₁F₂總相等．
證明：設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則x1+x2=

8k2

1+2k2

，x1x2=

8k2-2

1+2k2

，
所以tan∠MF₁A-tan∠NF₁F₂=kMF1+kNF1=

y1

x1-1

+

y2

x2-1

=

k(x1-1)(x2-2)+k(x2-1)(x1-2)

(x1-1)(x2-1)

=

k[2x1x2-3(x1+x2)+4]

(x1-1)(x2-1)

=

k[ 16k2-4 1+2k2 - 24k2 1+2k2 +4]

(x1-1)(x2-1)

=0，
所以tan∠MF₁A=tan∠NF₁F₂，又∠MF₁A和∠NF₁F₂均為銳角，
所以∠MF₁A=∠NF₁F₂．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題及橢圓方程的求解，考查學(xué)生綜合運用知識分析問題解決問題的能力．