Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝lnx﹣x2+ax，g(x)＝ex﹣e，其中a＞0.

(1)若a＝1，證明：f(x)≤0；

(2)用max{m，n}表示m和n中的較大值，設(shè)函數(shù)h(x)＝max{f(x)，g(x)}，討論函數(shù)h(x)在(0，+∞)上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)當(dāng)0＜a≤1時(shí)，h(x)在(0，+∞)上有唯一的零點(diǎn)；當(dāng)a＞1時(shí)，h(x)在(0，+∞)上也有1個(gè)零點(diǎn)

【解析】

(1)對f(x)求導(dǎo)，然后求出f'(x)的零點(diǎn)，再判斷f(x)的單調(diào)性，然后求出f(x)的最大值，進(jìn)而證明f(x)≤0成立；

(2)由條件知h(x)在區(qū)間(1，+∞)上不可能有零點(diǎn)，然后根據(jù)條件考慮在區(qū)間(0，1)上和x＝1處時(shí)h(x)的零點(diǎn)情況即可.

解：(1)(x＞0)，

令f'(x)＝0，則x＝1或(舍)，

∴當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，＞0，f(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)x∈(1，+∞)時(shí)，＜0，f(x)單調(diào)遞減，

∴f(x)≤f(x)max＝f(1)＝0.

(2)是上的增函數(shù)，，

在區(qū)間(1，+∞)上，g(x)＞0，∴h(x)＝max{f(x)，g(x)}≥g(x)＞0，

∴h(x)在區(qū)間(1，+∞)上不可能有零點(diǎn).

下面只考慮區(qū)間(0，1)上和x＝1處的情況.

由題意f(x)的定義域?yàn)?0，+∞)，.

令＝0可得(負(fù)值舍去).

在(0，x0)上＞0，f(x)為增函數(shù)，在(x0，+∞)上＜0，f(x)為減函數(shù)，

∴f(x)max＝f(x0).

①當(dāng)a＝1時(shí)，x0＝1，∴f(x)max＝f(1)＝0.

∵在區(qū)間(0，1)上，g(x)＜0，且g(1)＝0，

∴此時(shí)h(x)存在唯一的零點(diǎn)x＝1.

②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，.

∵，∴.

∴，

于是f(x)＜0恒成立，結(jié)合函數(shù)g(x)的性質(zhì)，

可知此時(shí)h(x)存在唯一的零點(diǎn)x＝1.

③當(dāng)a＞1時(shí)，，∴f(x)在(0，1)上遞增.

又∵f(1)＝a﹣1＞0，，

∴f(x)在區(qū)間(0，1)上存在唯一的零點(diǎn)x＝x1.

結(jié)合函數(shù)g(x)的性質(zhì)，可知x＝x1是h(x)唯一的零點(diǎn).

綜上，當(dāng)0＜a≤1時(shí)，h(x)在(0，+∞)上有唯一的零點(diǎn)x＝1；

當(dāng)a＞1時(shí)，h(x)在(0，+∞)上也有1個(gè)零點(diǎn).