Question

（本題滿分16分）已知函數(shù)

（1）當(dāng)時，判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性并求的最小值；

（2）若對任意，都成立，試求實數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

（1）單調(diào)遞增，2；（2）.

【解析】

試題分析：

解題思路：（1）先將的表達式進行化簡，利用與在都為增函數(shù)判斷的單調(diào)性，再用函數(shù)的單調(diào)性定義進行證明，進而求的最小值；（2）因為父母恒為正，所以只研究分子的符號即可，采用分離常數(shù)法進行求解.

規(guī)律總結(jié)：不等式恒成立問題，一般思路將常數(shù)進行分離，將其轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題.

試題解析：（1）當(dāng)a＝－1時f（x）＝，

對任意，

∵，∴∴

∴f（x1）－f（x2）<0，f（x1）<f（x2）

所以f（x）在上單調(diào)遞增

所以x＝1時f（x）取最小值，最小值為2

（2）若對任意x，f（x）>0恒成立，則>0

對任意x恒成立，所以x2＋2x＋a>0對任意x恒成立，

令g（x）＝x2＋2x＋a， x

因為g（x）＝ x2＋2x＋a在上單調(diào)遞增，

所以x＝1時g（x）取最小值，最小值為3＋a，

∵ 3＋a>0，∴ a>－3.

考點：1.函數(shù)的單調(diào)性與最值；2.不等式恒成立問題.