Question

15．設(shè)定義在[-π，π]上的函數(shù)f（x）=cosx-4x²，則不等式f（lnx）+π²＞0的解集是（0，${e}^{-\frac{π}{2}}$）∪（${e}^{\frac{π}{2}}$，+∞）．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)f（x）的單調(diào)性求出f（lnx）＞-π²=f（$\frac{π}{2}$），得到關(guān)于lnx的不等式，解出即可．

解答 解：f′（x）=-sinx-8x，f″（x）=-cosx-8＜0，
故f′（x）在[-π，π]遞減，
而f′（0）=0，
故x∈[-π，0）時(shí)，f′（x）＞0，x∈（0，π]時(shí)，f′（x）＜0，
故f（x）在[-π，0）遞增，在（0，π]遞減，
而f（x）=f（-x），f（x）在[-π，π]是偶函數(shù)，
f（$\frac{π}{2}$）=f（-$\frac{π}{2}$）=-π²，
不等式f（lnx）+π²＞0，
即f（lnx）＞-π²=f（$\frac{π}{2}$），
故lnx＞|$\frac{π}{2}$|，故lnx＜-$\frac{π}{2}$，或lnx＞$\frac{π}{2}$，
解得：0＜x＜${e}^{-\frac{π}{2}}$或x＞${e}^{\frac{π}{2}}$，
故答案為：（0，${e}^{-\frac{π}{2}}$）∪（${e}^{\frac{π}{2}}$，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．