Question

20．函數(shù)y=x$\sqrt{1-\frac{1}{2}{x}^{2}}$的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 當(dāng)x＞0時，函數(shù)取得最大值．將函數(shù)變形為y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\sqrt{{x}^{2}}$•$\sqrt{2-{x}^{2}}$，再由重要不等式ab≤$\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}$（a=b取得等號），計算即可得到所求最大值．

解答 解：當(dāng)x＞0時，函數(shù)取得最大值．
即有y=x$\sqrt{1-\frac{1}{2}{x}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\sqrt{2-{x}^{2}}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\sqrt{{x}^{2}}$•$\sqrt{2-{x}^{2}}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\frac{{x}^{2}+2-{x}^{2}}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)x²=2-x²，即x=1（-1舍去），函數(shù)取得最大值$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運用變形和重要不等式，注意等號成立的條件，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．