Question

4．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為$\sqrt{3}$，動(dòng)點(diǎn)P在對(duì)角線BD₁上，過點(diǎn)P作垂直于BD₁的平面α，平面α截正方體的表面得到一個(gè)多邊形，記這樣得到的截面多邊形（含三角形）的周長(zhǎng)為y，設(shè)BP=x，當(dāng)$x∈[{\frac{1}{3}，\frac{5}{2}}]$時(shí)，函數(shù)y=f（x）的值域?yàn)椋ā　。?table class="qanwser">A．[1，3]B．[$\sqrt{6}$，3$\sqrt{6}$]C．[$\frac{3\sqrt{6}}{2}$，4$\sqrt{6}$]D．[$\sqrt{6}$，4$\sqrt{6}$]

Answer 1

分析 分三種情況討論f（x）的變換情況，利用相似三角形得出f（x）的值域．

解答 解：作平面ACB₁和平面A₁C₁D，則BD₁⊥平面AB₁C，BD₁⊥平面A₁DC₁，
設(shè)B到平面ACB₁的距離為d，則V${\;}_{B-A{B}_{1}C}$=V${\;}_{{B}_{1}-ABC}$，
∴$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×$（$\sqrt{6}$）²×d=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×$（$\sqrt{3}$）²×$\sqrt{3}$，解得d=1，
①當(dāng)$x∈[{\frac{1}{3}，1}]$時(shí)，截面多邊形是三角形EFG，
由△EFG∽△AB₁C得△EFG的周長(zhǎng)為3$\sqrt{6}$x，∴3$\sqrt{6}$x∈$[{\sqrt{6}，3\sqrt{6}}]$；
②當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，截面多邊形是六邊形HIJKLM，
設(shè)$\frac{HI}{{A}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{{B}_{1}I}{{B}_{1}{C}_{1}}$=λ，則$\frac{IJ}{{B}_{1}C}$=$\frac{{C}_{1}I}{{B}_{1}{C}_{1}}$=1-λ，
∴HI+IJ=$\sqrt{6}$，
∴截面六邊形的周長(zhǎng)為$3\sqrt{6}$；
③當(dāng)$x∈[{2，\frac{5}{2}}]$時(shí)，截面多邊形是三角形NQR，
由①可知截面三角形周長(zhǎng)范圍為$[{\frac{{3\sqrt{6}}}{2}，3\sqrt{6}}]$；
∴當(dāng)x∈[$\frac{1}{3}$，$\frac{5}{2}$]時(shí)，f（x）的值域?yàn)閇$\sqrt{6}$，3$\sqrt{6}$]．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了棱柱的結(jié)構(gòu)特征，屬于中檔題．