Question

13．（Ⅰ）若a，b，均為正數(shù)，且a+b=1．證明：（1+$\frac{1}{a}$）（1+$\frac{1}$）≥9；
（Ⅱ）若不等式|x+3|-|x-a|≥2的解集為{x|x≥1}，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將1=a+b代入，可得（1+$\frac{1}{a}$）（1+$\frac{1}$）=（1+$\frac{a+b}{a}$）（1+$\frac{a+b}$）=（1+1+$\frac{a}$）（1+1+$\frac{a}$）由三元均值不等式，即可得證；
（Ⅱ）由題意x＜a，不等式可化為x+3+x-a≥2，利用不等式|x+3|-|x-a|≥2的解集為{x|x≥1}，即可求實(shí)數(shù)a的值．

解答 （Ⅰ）證明：∵a，b，c，d均為正數(shù)，且a+b=1，
∴（1+$\frac{1}{a}$）（1+$\frac{1}$）=（1+$\frac{a+b}{a}$）（1+$\frac{a+b}$）
=（1+1+$\frac{a}$）（1+1+$\frac{a}$）  
≥（3•$\root{3}{\frac{a}}$）（3•$\root{3}{\frac{a}}$）=9，
∴（1+$\frac{1}{a}$）（1+$\frac{1}$）≥9；
（Ⅱ）解：由題意x＜a，不等式可化為x+3+x-a≥2，∴x≥$\frac{1}{2}$（a-1），
∴$\frac{1}{2}$（a-1）=1，∴a=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，絕對(duì)值不等式的解法，考查推理能力，屬于中檔題．